《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例3 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,M为对角线AC上一点,连接BM。若AC = BC,∠AMB = ∠BCD,试说明:△ADC≌△CMB。

思路分析
平行线的性质
|--∠DAC = ∠MCB,∠BCD + ∠ADC = 180°
|--找第三个条件
|--∠ADC = ∠CMB
|--判定全等
|--△ADC≌△CMB
解:因为AD//BC,
所以∠DAC = ∠MCB,∠BCD + ∠ADC = 180°。
因为∠AMB = ∠BCD,∠AMB + ∠CMB = 180°,
所以∠ADC = ∠CMB。
在△ADC和△CMB中,
因为∠ADC = ∠CMB,∠DAC = ∠MCB,AC = CB,
所以△ADC≌△CMB(AAS)。

答案：

例4 (1)【观察理解】如图①,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,直线l过点C,点A,B在直线l同侧,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D,E。试说明:△AEC≌△CDB;
(2)【应用提升】如图②,AE⊥AB,且AE = AB,BC⊥CD,且BC = CD,利用(1)中的结论,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积;
(3)【类比探究】如图③,Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = 4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB',连接B'C,直接写出△AB'C的面积。

思路分析

解:(1)因为AE⊥l,BD⊥l,
所以∠AEC = ∠CDB = 90°,
所以∠CAE + ∠ACE = 90°。
又因为∠ACB = 90°,所以∠BCD + ∠ACE = 90°,
所以∠CAE = ∠BCD。
在△AEC和△CDB中,
因为∠AEC = ∠CDB,∠CAE = ∠BCD,AC = CB,
所以△AEC≌△CDB(AAS)。
(2)同(1)可得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,
所以AG = EF = 6,AF = BG = CH = 3,CG = DH = 4,
所以FH = AF + AG + CG + CH = 3 + 6 + 4 + 3 = 16,
所以图中实线所围成的图形的面积为
S梯形EFHD - 2S△EFA - 2S△CHD = $\frac{1}{2}$(EF + DH)·FH - 2×$\frac{1}{2}$EF·AF - 2×$\frac{1}{2}$DH·CH = $\frac{1}{2}$×(6 + 4)×16 - 2×$\frac{1}{2}$×6×3 - 2×$\frac{1}{2}$×4×3 = 80 - 18 - 12 = 50。
(3)S△AB'C = 8。【解析】如图③,过点B'作B'E⊥AC于点E,则∠B'EA = ∠ACB = 90°。
所以∠AB'E + ∠B'AE = 90°。因为∠B'AB = 90°,所以∠B'AE + ∠BAC = 90°。所以∠AB'E = ∠BAC。由旋转得AB = AB'。在△AEB'和△BCA中,因为∠B'EA = ∠ACB,∠AB'E = ∠BAC,AB' = BA,所以△AEB'≌△BCA(AAS),
所以B'E = AC = 4,所以S△AB'C = $\frac{1}{2}$AC·B'E = $\frac{1}{2}$×4×4 = 8。

答案：

3 - 1 [成都中考]如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一条直线上,AC//DF,AC = DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是( )

A.BC = DE
B.AE = DB
C.∠A = ∠DEF
D.∠ABC = ∠D

答案： B

3 - 2 [吉林中考]如图,在△ABC中,AB ＞ AC,点D在边AB上,且BD = CA,过点D作DE//AC,并截取DE = AB,且点C,E在AB同侧,连接BE。试说明:△DEB≌△ABC。

答案： 解：因为DE//AC，所以∠EDB=∠A。在△DEB和△ABC中，因为DE=AB，∠EDB=∠A，BD=CA，所以△DEB≌△ABC(SAS)。

4 - 1 如图,已知AB = CD,且AB⊥CD,连接AD,分别过点C,B作CE⊥AD,BF⊥AD,垂足分别为E,F。若AD = 10,CE = 8,BF = 6,则EF的长为( )

A.4
B.$\frac{7}{2}$
C.3
D.$\frac{5}{2}$

答案： A [解析]因为AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，所以∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∠CED=∠AFB=90°。所以∠A=∠C。在△ABF和△CDE中，因为∠AFB=∠CED，∠A=∠C，AB=CD，所以△ABF≌△CDE(AAS)。所以DE=BF=6，AF=CE=8。所以AE=AD−DE=10−6=4。所以EF=AF−AE=8−4=4。故选A。