《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

4 - 2 如图,已知AB = AE,∠C = ∠D,BC = ED,F是CD的中点,连接AF。试说明:∠BAF = ∠EAF。

答案：
解：如图，连接BF，EF。因为F是CD的中点，所以CF=DF。在△BCF和△EDF中，因为BC=ED，∠C=∠D，CF=DF，所以△BCF≌△EDF(SAS)。所以BF=EF。在△ABF和△AEF中，因为AB=AE，BF=EF，AF=AF，所以△ABF≌△AEF(SSS)。所以∠BAF=∠EAF。

4 - 3 把一个含45°角的三角尺的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,然后把三角尺绕点A顺时针旋转,它的两边分别交直线BC,CD于点M,N,连接MN。
(1)当三角尺绕点A旋转到如图①所示的位置时,试说明:MN = BM + DN;
(2)当三角尺绕点A旋转到如图②所示的位置时,试判断线段MN,BM,DN之间具有怎样的数量关系,并说明理由。

答案：
解：
(1)如图①，延长MB至点H，使BH=DN，连接AH。因为四边形ABCD为正方形，所以∠D=∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB。所以∠ABH=∠D=90°。在△ABH和△ADN中，因为AB=AD，∠ABH=∠D，BH=DN，所以△ABH≌△ADN(SAS)，所以AH=AN，∠BAH=∠DAN。因为∠MAN=45°，所以∠DAN+∠BAM=∠BAD−∠MAN=45°，所以∠BAH+∠BAM=45°，所以∠MAH=45°=∠MAN。在△AMH和△AMN中，因为AH=AN，∠MAH=∠MAN，AM=AM，所以△AMH≌△AMN(SAS)，所以MH=MN。又因为MH=BM+BH，所以MN=BM+DN。
(2)MN=DN−BM。理由如下：如图②，在DN上截取DH=BM，连接AH。同
(1)可得△ADH≌△ABM，所以AH=AM，∠DAH=∠BAM。因为∠MAN=∠BAM+∠BAN=45°，所以∠DAH+∠BAN=45°，所以∠HAN=∠BAD−(∠DAH+∠BAN)=45°，所以∠HAN=∠MAN。在△AHN和△AMN中，因为AH=AM，∠HAN=∠MAN，AN=AN，所以△AHN≌△AMN(SAS)，所以HN=MN。又因为HN=DN−DH，所以MN=DN−BM。