《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型三 判定三角形全等的实际应用
例9 ★★如图是工人师傅自己设计的测量水平的仪器。仪器中AB = AC，D是BC的中点，让BC贴合于待测平面，当铅锤经过点D时，工人师傅就断定BC与地面平行。工人师傅的判断有道理吗？请说明理由。
　　　　　　　
思路分析

解：工人师傅的判断有道理。理由如下：
因为D是BC的中点，
所以BD = CD。
在△ABD和△ACD中，
因为AB = AC，BD = CD，AD = AD，
所以△ABD≌△ACD(SSS)，
所以∠ADB = ∠ADC。
因为∠ADB+∠ADC = 180°，
所以∠ADB = ∠ADC = 90°。→两个等角的和等于180°，则每个角都等于90°。
所以AD⊥BC。
因为AD与地面垂直，
所以BC与地面平行。
解题策略 当已知条件中没有给出任何角的度数，要说明线段垂直或求某个角等于90°时，常常利用“平角+一对等角”或“两直线平行，同旁内角互补+一对等角”等思路解决问题。

答案：

9 - 1 ★★空如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨AB = AC，支撑杆OE = OF，AE = $\frac{1}{3}$AB，AF = $\frac{1}{3}$AC。当点O沿AD滑动时，雨伞开闭。在雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何数量关系？请说明理由。
　　　　　　　　　　　

答案： 解：∠BAD = ∠CAD。理由如下：
因为AB = AC，AE = $\frac{1}{3}$AB，AF = $\frac{1}{3}$AC，所以AE = AF。
在△AEO和△AFO中，因为AE = AF，OE = OF，OA = OA，
所以△AEO≌△AFO(SSS)。
所以∠EAO = ∠FAO，即∠BAD = ∠CAD。

9 - 2 ★★☆如图，公园有一条“Z”字形道路，其中AB//CD，在点E，M，F三处各有一个小石凳，且BE = CF，M为BC的中点，则三个小石凳是否在一条直线上？请说明理由。
　　　　　　　　　　　　

答案：
解：三个小石凳在一条直线上。理由如下：
如图，连接EM，FM。
因为AB//CD，所以∠B = ∠C。

因为M为BC的中点，
所以BM = CM。
在△EBM和△FCM中，
因为BE = CF，∠B = ∠C，BM = CM，
所以△EBM≌△FCM(SAS)。所以∠BME = ∠CMF。
因为∠CMF + ∠BMF = 180°，所以∠BME + ∠BMF = 180°。
所以E，M，F三点共线。
所以三个小石凳在一条直线上。