《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

1.进行计算
例3 ★[转化思想]如图,在Rt△ABC中,∠A = 90°,AB = AC,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E。若BC = 17cm,求△CDE的周长。
　　　　　　
思路分析

解:因为BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A = 90°,所以∠ABD = ∠EBD,AD = DE,∠A = ∠BED = 90°。
在△ABD和△EBD中，
因为∠BAD = ∠BED,∠ABD = ∠EBD,BD = BD,所以△ABD≌△EBD(AAS)。
所以AB = EB。
所以△CDE的周长 = DE + CD + CE = AD + CD + CE = AC + CE = AB + CE = EB + CE = BC。
因为BC = 17cm,
所以△CDE的周长是17cm。
方法总结 计算三角形的周长时一般有两种方法:
(1)直接计算出三角形的三边长进行求解;
(2)“分散表示，替换重组”，即先把周长表示成三边和，然后利用转化思想把三边用相等线段进行替换，重新组合成其他线段的和进行求解。

答案：

3 - 1 如图,AB//CD,O为∠BAC与∠ACD的平分线的交点,过点O作OE⊥AC于点E,OG⊥CD于点G,延长GO交AB于点F。若OE = 2,则FG的长为________。
　　

答案： 4【解析】因为AB//CD，OG⊥CD，所以易得OF⊥AB。因为AO是∠BAC的平分线，OF⊥AB，OE⊥AC，所以OF = OE = 2。因为CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，OG⊥CD，所以OG = OE = 2。所以FG = OF + OG = 4。

3 - 2 ★[扬州中考]如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
　①以点B为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AB,BC于点D,E。
　②分别以点D,E为圆心,以大于$\frac{1}{2}$DE的长为半径作弧,两弧相交于点F。
　③作射线BF交AC于点G。
如果AB = 8,BC = 12,△ABG的面积为18,那么△CBG的面积为________。
　　　

答案：
27【解析】如图,过点G分别作GM⊥AB于点M,GN⊥BC于点N,根据作图过程可知BG是∠ABC的平分线,所以GM = GN。因为S△ABG = 18,AB = 8,所以$\frac{1}{2}$AB·GM = 4GM = 18。所以GM = $\frac{9}{2}$。所以GN = $\frac{9}{2}$。所以S△CBG = $\frac{1}{2}$BC·GN = $\frac{1}{2}$×12×$\frac{9}{2}$ = 27。

3 - 3 如图,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D,OD = 2,△ABC的周长为28,则△ABC的面积为________。
　　　

答案：
28【解析】如图,连接OA,过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F。因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，且OD = 2，所以OD = OE = OF = 2，所以S△ABC = S△OAB + S△OAC + S△OBC = $\frac{1}{2}$AB·OE + $\frac{1}{2}$AC·OF + $\frac{1}{2}$BC·OD = $\frac{1}{2}$(AB + AC + BC)·OD = $\frac{1}{2}$×28×2 = 28。

变式题(逆向变式)★★如图,已知△ABC的面积是36,周长是18,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,则OD的长是________。

答案：
[变式题] 4【解析】如图,连接OA,过点O分别作OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N。因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，所以OM = OD = ON。因为△ABC的周长是18，所以AB + BC + AC = 18。因为S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC，所以S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·OM + $\frac{1}{2}$BC·OD + $\frac{1}{2}$AC·ON = $\frac{1}{2}$(AB + BC + AC)·OD = $\frac{1}{2}$×18·OD = 9·OD = 36，所以OD = 4。