《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型一 利用全等三角形的性质判断直线的位置关系
例3 ★★☆ 如图，$\triangle ADF\cong\triangle CBE$，
点$E,B,D,F$在一条直线上。
　　　　　　　　　　　　　　　
(1)线段$AD$与$BC$之间的数量关系是______________，依据是______________；
(2)判断$AD$与$BC$之间的位置关系，并说明理由。
解：(1)$AD = BC$ 全等三角形的对应边相等
(2)$AD// BC$。理由如下：
因为$\triangle ADF\cong\triangle CBE$，所以$\angle ADF = \angle CBE$，
所以$180^{\circ}-\angle ADF = 180^{\circ}-\angle CBE$，
即$\angle ADB = \angle CBD$。所以$AD// BC$。

答案：

3 - 1 ★★☆ 如图，点$A,B,C$在一条直线上，点$E$在$BD$上，且$\triangle ABD\cong\triangle EBC$。
(1)判断$AC$与$BD$的位置关系，并说明理由；
(2)判断直线$AD$与直线$CE$的位置关系，并说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
3-1解:
(1)AC⊥BD。理由如下:
因为△ABD≌△EBC，所以∠ABD = ∠EBC。
因为点A，B，C在一条直线上，
所以∠ABD + ∠EBC = 180°。
所以∠EBC = 90°，所以AC⊥BD。
(2)直线AD与直线CE垂直。
理由如下:
如图,延长CE交AD于点F。
因为△ABD≌△EBC，所以∠A = ∠BEC。
在△BCE中，因为∠EBC = 90°，所以∠BEC + ∠C = 90°，
所以∠A + ∠C = 90°。
所以在△ACF中，∠AFC = 180° - (∠A + ∠C) = 90°，
所以直线AD与直线CE垂直。

题型二 利用全等三角形的性质探究动点问题
4 - 1 ★★☆ 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10\text{ cm}$，$BC = 8\text{ cm}$，$D$为$AB$的中点，点$P$在线段$BC$上以$3\text{ cm/s}$的速度由点$B$出发向点$C$运动，同时点$Q$在线段$CA$上以$a\text{ cm/s}$的速度由点$C$出发向点$A$运动，设运动的时间为$t\text{ s}$。若$\triangle CPQ$和$\triangle BDP$全等，且$\angle B$与$\angle C$是对应角，求$a$的值。
　　　　　　　　　　　　　　　
▷思路分析

答案： 4-1解:由题意，得BP = 3t cm，CQ = at cm，
所以CP = BC - BP = (8 - 3t)cm。
因为AB = 10 cm，D为AB的中点，
所以BD = $\frac{1}{2}$AB = 5 cm。
因为△CPQ和△BDP全等，且∠B与∠C是对应角，
所以分两种情况讨论:
①若△CPQ≌△BDP，则CP = BD，CQ = BP，
即8 - 3t = 5，at = 3t，所以t = 1，a = 3。
②若△CQP≌△BDP，则CP = BP，CQ = BD，
即8 - 3t = 3t，at = 5，所以t = $\frac{4}{3}$，a = $\frac{15}{4}$。
综上所述，a的值为3或$\frac{15}{4}$。