《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例1 计算：
(1)$(a + 2)(3b + 5)$；
(2)$(2m - n)(3m - 4n)$；
(3)$(2x^{2}+1)(2x - 3)$；
(4)$(m - n)(m^{2}+mn + n^{2})$。
分析:紧扣多项式乘多项式的法则,按“箭头标注法”进行计算。
解:(1)原式$=a\cdot3b + a\cdot5 + 2\cdot3b + 2×5 = 3ab + 5a + 6b + 10$；
(2)原式$=2m\cdot3m - 2m\cdot4n - n\cdot3m + n\cdot4n = 6m^{2}-8mn - 3mn + 4n^{2}=6m^{2}-11mn + 4n^{2}$；
(3)原式$=2x^{2}\cdot2x - 2x^{2}\cdot3 + 1\cdot2x - 1×3 = 4x^{3}-6x^{2}+2x - 3$；
(4)原式$=m\cdot m^{2}+m\cdot mn + m\cdot n^{2}-n\cdot m^{2}-n\cdot mn - n\cdot n^{2}=m^{3}+m^{2}n + mn^{2}-m^{2}n - mn^{2}-n^{3}=m^{3}-n^{3}$。

答案：

1-1 计算$(x + 1)(2x - 3)$的结果是( )
A.$2x^{2}+x - 3$
B.$2x^{2}-x - 3$
C.$2x^{2}-x + 3$
D.$x^{2}-2x - 3$

答案： B

1-2 [深圳龙岗区期末]若$(x + 3)(x - 5)=x^{2}+mx - 15$,则$m$的值为( )
A.-2
B.2
C.-5
D.5

答案： A

变式题 [条件变式]若$(x - 2)(x + m)=x^{2}+ax - 6$,则$a=$__________。

答案： 1 [解析]$(x - 2)(x + m)=x^{2}+mx - 2x - 2m=x^{2}+(m - 2)x - 2m=x^{2}+ax - 6$，所以$-2m = - 6$，$m - 2 = a$，所以$m = 3$，所以$a = 1$。

1-3 计算：
(1)$(a - b)(2p - q)$；
(2)$(a + b)^{2}$；
(3)$(\frac{5}{2}a + 3b)(4a - 3b)$；
(4)$(-3m - n)(m + 2n)$；
(5)$(x - y)(x^{2}+xy - y^{2})$；
(6)$(2a + b - c)(a + b + c)$。

答案： 解：
(1)原式$=a\cdot2p - a\cdot q - b\cdot2p + b\cdot q = 2ap - aq - 2bp + bq$；
(2)原式$=(a + b)(a + b)=a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^{2}+ab + ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$；
(3)原式$=\frac{5}{2}a\cdot4a - \frac{5}{2}a\cdot3b + 3b\cdot4a - 3b\cdot3b = 10a^{2}-\frac{15}{2}ab + 12ab - 9b^{2}=10a^{2}+\frac{9}{2}ab - 9b^{2}$；
(4)原式$=-3m\cdot m - 3m\cdot2n - n\cdot m - n\cdot2n = - 3m^{2}-6mn - mn - 2n^{2}=-3m^{2}-7mn - 2n^{2}$；
(5)原式$=x\cdot x^{2}+x\cdot xy - x\cdot y^{2}-y\cdot x^{2}-y\cdot xy + y\cdot y^{2}=x^{3}+x^{2}y - xy^{2}-x^{2}y - xy^{2}+y^{3}=x^{3}-2xy^{2}+y^{3}$；
(6)原式$=2a\cdot a + 2a\cdot b + 2a\cdot c + b\cdot a + b\cdot b + b\cdot c - c\cdot a - c\cdot b - c\cdot c = 2a^{2}+2ab + 2ac + ab + b^{2}+bc - ac - bc - c^{2}=2a^{2}+3ab + ac + b^{2}-c^{2}$。