《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例2 若$x^{m}=8,x^{n}=4$，则$x^{m + n}=$( )
A.12 B.4 C.32 D.2
思路分析

答案：C

答案：

2 - 1 (1)已知$x^{a + b}=6,x^{b}=3$，则$x^{a}$的值为______；
(2)已知$a^{m}=16,a^{n}=8,a^{k}=4$，则$a^{m + n + k}$的值为______。

答案：
(1)2
(2)512

2 - 2 若$a^{x}=3,a^{y}=9,a^{n}=27$，则下列等式成立的是( )
A.$n = 6x + y$
B.$n = xy$
C.$n = x + y$
D.$x:y:n = 1:3:9$

答案： C

例3 ★★☆计算：
（1）$2^{2}\times2^{12}-8\times2^{11}$；化不同底数为同底数。
（2）$(2a - 1)^{2}\cdot(2a - 1)^{3}+(2a - 1)^{4}\cdot(1 - 2a)$。
思路分析
（1）$8\times2^{11}=2^{3}\times2^{11}$ 化为同底数幂
（2）$(2a - 1)^{4}\cdot(1 - 2a)=(2a - 1)^{4}\cdot[-(2a - 1)]$ 化为同底数幂
解：（1）原式$=2^{14}-2^{3}\times2^{11}=2^{14}-2^{14}=0$；
（2）原式$=(2a - 1)^{5}-(2a - 1)^{4}\cdot(2a - 1)=(2a - 1)^{5}-(2a - 1)^{5}=0$。
解题策略 在幂的运算中，底数互为相反数的幂相乘，要先统一成同底数幂再相乘，统一底数时常用的变形：
$(-a)^{n}=\begin{cases}a^{n}(n为偶数)\\ -a^{n}(n为奇数)\end{cases}$，$(a - b)^{n}=\begin{cases}(b - a)^{n}(n为偶数)\\ -(b - a)^{n}(n为奇数)\end{cases}$。

答案：

3 - 1 ★★☆计算：
（1）$(-x)^{3}\cdot(-x)^{9}-x\cdot x^{3}\cdot x^{8}$；
（2）$(a - b)^{5}\cdot(a - b)^{5}-(a - b)^{9}\cdot(b - a)$。

答案： 解：
(1)原式$=(-x)^{12}-x^{12}=x^{12}-x^{12}=0；$
(2)原式$=(a - b)^{10}+(a - b)^{10}=2(a - b)^{10}。$