《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型五 平方差公式的实际应用 举一反三训练
例8 ★★☆ 张大爷家有一块“L”形的菜地，现要把“L”形菜地按如图所示的方式分成面积相等的两个梯形，种上不同的蔬菜，已知这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b - a)m。
(1)算一算，这块菜地的面积是多少？
(2)当a = 10，b = 30时，求这块菜地的面积。
解：(1)2×$\frac{1}{2}$(a + b)(b - a)=(b² - a²)m²。
答：这块菜地的面积是(b² - a²)m²。
(2)当a = 10，b = 30时，
b² - a² = 30² - 10² = 900 - 100 = 800。
答：当a = 10，b = 30时，这块菜地的面积是800 m²。

答案：

8-1 ★★☆ 古代一位农场主把一块边长为a m(a＞6)的正方形土地租给张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6 m，相邻的另一边减少6 m，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会( )
A.没有变化 B.变大
C.变小 D.无法确定

答案： 8-1 C 

题型六 利用平方差公式探索规律 举一反三训练
例9 ★★☆ 观察下列各式：(x - 1)(x + 1)=x² - 1，(x - 1)(x² + x + 1)=x³ - 1，(x - 1)(x³ + x² + x + 1)=x⁴ - 1，(x - 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)=x⁵ - 1，…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)根据以上规律得(x - 1)(xᵐ⁻¹ + xᵐ⁻² + xᵐ⁻³ + … + x + 1)= ________(m为正整数)；
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算：1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰。
思路分析

解：(1)xᵐ - 1
(2)原式=(2 - 1)(2¹⁰⁰ + 2⁹⁹ + … + 2⁴ + 2³ + 2² + 2 + 1)=2¹⁰¹ - 1。

答案：

9-1 ★★☆ 观察下列各式：1×3 = 2² - 1，3×5 = 4² - 1，5×7 = 6² - 1，7×9 = 8² - 1，…
请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示出来：________________。

答案： 9-1 (2n - 1)(2n + 1)=(2n)² - 1 9-2 解：
(1)aⁿ - bⁿ
(2)由
(1)可知[2 - (-1)][2⁹⁹ + 2⁹⁸×(-1) + 2⁹⁷×(-1)² + … + 2³×(-1)⁹⁶ + 2²×(-1)⁹⁷ + 2×(-1)⁹⁸ + (-1)⁹⁹] =3(2⁹⁹ - 2⁹⁸ + 2⁹⁷ - … + 2³ - 2² + 2 - 1)=2¹⁰⁰ - (-1)¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ - 1，所以 2⁹⁹ - 2⁹⁸ + 2⁹⁷ - … + 2³ - 2² + 2 - 1=(2¹⁰⁰ - 1)/3。

9-2 ★★★ 观察下列各式的规律：
(a - b)(a + b)=a² - b²；
(a - b)(a² + ab + b²)=a³ - b³；
(a - b)(a³ + a²b + ab² + b³)=a⁴ - b⁴；…
(1)猜想：(a - b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹)= ____(其中n为正整数，且n≥2)；
(2)利用(1)中猜想的结论计算：2⁹⁰ - 2⁹⁸ + 2⁹⁷ - … + 2³ - 2² + 2 - 1。

答案：