《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

例5 [郑州中原区期末]如图,小明站在堤岸凉亭A点处,正对他的B点(AB与堤岸垂直)停有一艘游船,他想知道凉亭与这艘游船之间的距离,就制定了如下方案。
|课题|测量凉亭与游船之间的距离|
|测量工具|皮尺等|
|测量方案示意图| |
|测量步骤|①小明沿堤岸走到电线杆C点处;
②再往前走相同的距离,到达D点;
③他到达D点后向左转90°直行,当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来,此时小明位于E点处|
|测量数据|AC = 40m,CD = 40m,DE = 20m|
(1)凉亭与游船之间的距离是________m;
(2)请你说明小明方案的正确性。
解:(1)20
(2)由题意可知,∠A = 90°,∠D = 90°,AC = DC,所以∠A = ∠D。
在△ABC和△DEC中,
因为∠A = ∠D,AC = DC,∠ACB = ∠DCE,
所以△ABC≌△DEC(ASA),
所以AB = DE = 20m,
即测得DE的长就是凉亭与游船之间的距离。
因此,小明的方案是正确的。
解题策略|利用三角形全等测距离(或高度)是一种很重要的方法,其实质是利用转化思想将实际问题转化为数学问题,抽象概括出基本图形,利用全等三角形的判定与性质得出待测量与已知量之间的关系。

答案：

5 - 1 状状同学沿一条笔直街道的人行道行走,在由A处步行到B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语,其具体信息汇集如下:
如图,AB//OH//CD,AC,BD相交于点O,OD⊥CD,垂足为D,点O到AB,CD的距离相等,AB = 20m,请根据上述信息求标语CD的长度。

答案： 解：因为AB//CD，所以∠ABO=∠CDO。因为OD⊥CD，所以∠ABO=∠CDO=90°，所以OB⊥AB。因为点O到AB，CD的距离相等，所以OB=OD。在△ABO和△CDO中，因为∠ABO=∠CDO，OB=OD，∠AOB=∠COD，所以△ABO≌△CDO(ASA)。所以CD=AB=20 m，即标语CD的长度为20 m。

5 - 2 [西安莲湖区期末]如图,小明同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺ACB(AC = CB,∠ACB = 90°),点C在DE上,点A,B分别在木墙的顶端。求两堵木墙之间的距离。

答案： 解：由题意得AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，AC=CB，所以∠ADC=∠CEB=90°，所以∠ACD+∠DAC=90°。因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠ECB=90°。所以∠DAC=∠ECB。在△ADC和△CEB中，因为∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=CB，所以△ADC≌△CEB(AAS)。所以AD=CE，CD=BE，所以DE=CD+CE=BE+AD=10×2=20(cm)。答：两堵木墙之间的距离为20 cm。