《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

13 已知$xy＜0$，化简二次根式$x\sqrt{-\frac{y}{x^{2}}}$的结果为 （ ）
A.$\sqrt{y}$
B.$\sqrt{-y}$
C.$-\sqrt{y}$
D.$-\sqrt{-y}$

答案： B 解析：由题可知$y\leq0$，又$xy ＜ 0$，$\therefore x ＞ 0$，$y ＜ 0$，则$x\sqrt{-\frac{y}{x^{2}}}=x\cdot\frac{\sqrt{-y}}{\sqrt{x^{2}}}=x\cdot\frac{\sqrt{-y}}{x}=\sqrt{-y}$。

14 (原创题)若$\frac{3}{5}x^{2}=\frac{1}{6}$，则$x=$ （ ）
A.±$\frac{\sqrt{90}}{18}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{6}$
C.$-\frac{\sqrt{10}}{6}$
D.±$\frac{\sqrt{10}}{6}$

答案： D 解析：由$\frac{3}{5}x^{2}=\frac{1}{6}$，得$x^{2}=\frac{1}{6}\times\frac{5}{3}=\frac{5}{18}$，$\therefore x = \pm\sqrt{\frac{5}{18}}=\pm\frac{\sqrt{10}}{6}$。

15 (易错题)若$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}}=-\frac{a}{b}$，则 （ ）
A.$a＞0,b＞0$
B.$a＜0,b＜0$
C.$ab＞0$
D.$ab\leqslant0$且$b\neq0$

答案： D 解析：$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}}=\sqrt{(\frac{a}{b})^{2}}=|\frac{a}{b}|$，又$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}}=-\frac{a}{b}$，$\therefore\frac{a}{b}\leq0$。又$b\neq0$，$\therefore ab\leq0$，且$b\neq0$。

16 已知$\sqrt{\frac{1 - a}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{1 - a}}{a}$，则$a$的取值范围为 （ ）
A.$a\leqslant0$
B.$a＜0$
C.$0 ＜ a\leqslant1$
D.$a＞0$

答案： C 解析：由题可知$a ＞ 0$，$1 - a\geq0$，即$0 ＜ a\leq1$。

17 写出一个化为最简二次根式后，被开方数与$\sqrt{5}$相同的二次根式：_______.

答案： $\sqrt{20}$（答案不唯一） 解析：$\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}$。

18 化简：$x\cdot\sqrt{-\frac{1}{x^{3}}}=$_______.

答案： $\frac{1}{x}\sqrt{-x}$ 解析：$x\cdot\sqrt{-\frac{1}{x^{3}}}=x\cdot\sqrt{-\frac{x}{x^{4}}}=x\cdot\sqrt{\frac{-x}{x^{4}}}=\frac{x}{x^{2}}\sqrt{-x}=\frac{1}{x}\sqrt{-x}$。

19 (原创题)代数式$\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x - 1}}$中，$x$的取值范围为_______.

答案： $x ＞ 1$

20 化简下列各式：
(1)$\frac{1}{a}\sqrt{\frac{1}{a}+1}(a＞0)$；
(2)$\sqrt{(x - 1)^{2}+(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})^{2}}$.

答案： 解：
(1) $\frac{1}{a}\sqrt{\frac{1}{a}+1}=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{a + 1}{a}}=\frac{1}{a^{2}}\sqrt{a^{2}+a}$。
(2) 原式$=\sqrt{x^{2}-2x + 1+\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{5}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}(x^{2}-2x + 1)}=\sqrt{\frac{5}{4}(x - 1)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}|x - 1|$。

21 化简求值：$\sqrt{1+\frac{1}{x}}\div\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}}}$，其中$x = 4$.

答案： 解：$\sqrt{1+\frac{1}{x}}\div\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}}}=\sqrt{\frac{x + 1}{x}}\div\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}}}=\sqrt{\frac{x + 1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}-1}}=\sqrt{\frac{x + 1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$。 当$x = 4$时，原式$=\sqrt{\frac{4}{4 - 1}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

22 已知$a + b = 10$，$ab = 8$，求$\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}$的值.

答案： 解：$\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}}=\sqrt{\frac{(a + b)^{2}-2ab}{ab}}=\sqrt{\frac{10^{2}-2\times8}{8}}=\sqrt{\frac{84}{8}}=\sqrt{\frac{21}{2}}=\frac{\sqrt{42}}{2}$。

23 已知$x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，求$\sqrt{(x-\frac{1}{x})^{2}+4}-\sqrt{(x+\frac{1}{x})^{2}-4}$的值.

答案： 解：原式$=\sqrt{(x+\frac{1}{x})^{2}}-\sqrt{(x-\frac{1}{x})^{2}}=|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|$。 $\because x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$， $\therefore\frac{1}{x}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$， $\therefore$原式$=|\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}|-|\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}|=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$。