《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

16 已知$a^{2}+2a - 21 = 0$，求$\sqrt{a + 3} \cdot \sqrt{a - 1}$的值.

答案： 解：$\sqrt{a + 3}·\sqrt{a - 1}=\sqrt{(a + 3)(a - 1)}=\sqrt{a^{2}+2a - 3}$，由$a^{2}+2a - 21 = 0$得$a^{2}+2a = 21$。$\therefore$原式$=\sqrt{21 - 3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。

17 当$\vert x - 3\vert + (x - y + 1)^{2}=0$时，求二次根式$\sqrt{x^{2}y + xy^{2}+\frac{1}{4}y^{3}}$的值.

答案： 解：$\sqrt{x^{2}y+xy^{2}+\frac{1}{4}y^{3}}=\sqrt{y(x^{2}+xy+\frac{1}{4}y^{2})}=\sqrt{y(x+\frac{1}{2}y)^{2}}=\vert x+\frac{1}{2}y\vert\sqrt{y}$。由条件可得$x - 3 = 0$，$x - y + 1 = 0$，$\therefore x = 3$，$y = 4$，$\therefore$原式$=\vert3+\frac{1}{2}×4\vert×\sqrt{4}=10$。

18 化简求值：$(a + b)^{2}+(a - b)(2a + b)-3a^{2}$，其中$a = 2\sqrt{3}$，$b = -3\sqrt{2}$.

答案： 解：$(a + b)^{2}+(a - b)(2a + b)-3a^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}+2a^{2}+ab - 2ab - b^{2}-3a^{2}=ab$。当$a = 2\sqrt{3}$，$b = -3\sqrt{2}$时，原式$=(2\sqrt{3})×(-3\sqrt{2})=-6\sqrt{6}$。

19 已知$m^{2}-n^{2}=4$，且$m＞0$，$n＞0$，求$m\sqrt{n^{2}+4}-n\sqrt{m^{2}-4}$的值.

答案： 解：由$m^{2}-n^{2}=4$得$m^{2}=n^{2}+4$，$n^{2}=m^{2}-4$。原式$=m\sqrt{m^{2}-4 + 4}-n\sqrt{n^{2}+4 - 4}=m\sqrt{m^{2}}-n\sqrt{n^{2}}=m·m - n·n=m^{2}-n^{2}=4$。

20（原创题）解方程：$\vert x - 1\vert=\sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 3}$.

答案： 解：原方程可化为$\vert x - 1\vert=\sqrt{x^{2}-9}$，两边平方得$(\vert x - 1\vert)^{2}=(\sqrt{x^{2}-9})^{2}$，即$(x - 1)^{2}=x^{2}-9$，$x^{2}-2x + 1=x^{2}-9$，$\therefore x = 5$。 名师点睛：灵活运用$(\sqrt{a})^{2}=a$将二次根式变为整式。

21 观察下列各式，发现规律：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，…
（1）填空：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=$________，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}=$________；
（2）计算（写出计算过程）：$\sqrt{2021+\frac{1}{2023}}$；
（3）请用含自然数$n(n\geq1)$的式子把你所发现的规律表示出来.

答案： 解：
(1)$5\sqrt{\frac{1}{6}}$ $6\sqrt{\frac{1}{7}}$
(2)$\sqrt{2021+\frac{1}{2023}}=\sqrt{\frac{2021×2023 + 1}{2023}}=\sqrt{\frac{(2022 - 1)(2022 + 1)+1}{2023}}=\sqrt{\frac{2022^{2}-1 + 1}{2023}}=\sqrt{\frac{2022^{2}}{2023}}=2022\sqrt{\frac{1}{2023}}$。
(3)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$。