《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

10 (创新题)如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠BAC = ∠ADB，且∠COD = 70°，则∠ABC = _______°.

答案： 110 解析：
∵AD//BC，
∴∠ADB = ∠DBC. 又
∵∠BAC = ∠ADB，
∴∠DBC = ∠BAC，
∴∠BOC = ∠ABC.
∵∠COD = 70°，
∴∠BOC = 180° - 70° = 110°，
∴∠ABC = 110°.

11 如图，在□ABCD中，已知AB = 3，AD = 4，∠ABC = 60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE，DF，则△DEF的面积为_______.

答案： 2$\sqrt{3}$ 解析：延长FE交DC的延长线于点G. 易证△BEF≌△CEG，
∴BF = CG，∠BFE = ∠G = 90°. 在△BFE中，
∵∠B = 60°，∠BFE = 90°，
∴∠BEF = 30°.
∵BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AD = 2，
∴BF = $\frac{1}{2}$BE = 1，
∴EF = $\sqrt{3}$，CG = 1.
∴FG = 2$\sqrt{3}$，DG = 4.
∵$S_{\triangle FGD}$ = $\frac{1}{2}$FG·DG = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×4 = 4$\sqrt{3}$，
∴$S_{\triangle FED}$ = $\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$. 名师点睛：在题目中如果既有中点，又有平行的条件，那么一般需证两个三角形全等，即“中点加平行，一定证全等”.

12 △ABC和□DEFG按如图方式摆放，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F均在边BC上.若BE = DE，CF = GF，则∠A的度数为_______.

答案： 90° 解析：
∵BE = DE，
∴设∠B = ∠BDE = x°.
∵CF = GF，
∴设∠C = ∠FGC = y°.
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DE//GF，
∴∠DEF + ∠GFE = 180°. 又∠DEF = ∠B + ∠BDE = 2x°，∠GFE = ∠C + ∠CGF = 2y°，
∴2x° + 2y° = 180°，即x° + y° = 90°，
∴∠A = 180° - (x° + y°) = 180° - 90° = 90°. 名师点睛：利用设未知数来解决问题是一种行之有效的方法. 设未知数既可以列方程，也可以列代数式. 既可以设一个未知数，也可以设多个未知数.

13 在□ABCD中，E为BC边上一点，F为DE上一点，∠B = ∠AFE，EA平分∠BEF.
求证：(1)△ABE≌△AFE.
(2)∠FAD = ∠CDE.

答案： 证明：
(1)
∵EA平分∠BEF，
∴∠AEB = ∠AEF. 又∠B = ∠AFE，AE = AE，
∴△ABE≌△AFE.
(2)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B + ∠C = 180°.
∵∠B = ∠AFE，∠AFE + ∠AFD = 180°，
∴∠B + ∠AFD = 180°，
∴∠C = ∠AFD. 又
∵AD//BC，
∴∠ADF = ∠DEC，
∴∠FAD = ∠CDE.

14 如图，过□ABCD的顶点A作AE⊥AB,且AE = AB.作AF⊥AD,且AF = AD.连接EF.已知□ABCD的面积为6,求△AEF的面积.

答案： 解：连接AC.
∵EA⊥AB，
∴∠EAB = 90°.
∵FA⊥AD，
∴∠FAD = 90°，
∴∠EAF + ∠BAD = 180°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAD + ∠D = 180°，
∴∠EAF = ∠D. 又
∵EA = BA = CD，FA = AD，
∴△EAF≌△CDA，
∴$S_{\triangle AEF}$ = $S_{\triangle ACD}$ = $\frac{1}{2}$$S_{□ABCD}$ = $\frac{1}{2}$×6 = 3.

15 (探究题)阅读材料：如图①，点P为□ABCD的边AD上一点,易知$S_{\triangle APB}+S_{\triangle DPC}=\frac{1}{2}S_{\square ABCD}$.
如图②，点P为□ABCD内一点,易知$S_{\triangle APD}+S_{\triangle CPB}=\frac{1}{2}S_{\square ABCD}$.
根据以上结论,解决下列问题.
(1)如图③,在□ABCD中,E,F分别是AB,DC边上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q.若$S_{\triangle APD}=16\ cm^{2}$,$S_{\triangle BQC}=25\ cm^{2}$,则图中阴影部分的面积为_______.
(2)如图④,P为□ABCD内一点,连接PA,PB,PC,PD,AC.若$S_{\triangle PAB}=6\ cm^{2}$,$S_{\triangle PAD}=2\ cm^{2}$,则图中阴影部分的面积为_______.

答案：
(1)41 cm² 解析：
∵$S_{\triangle DCE}$ = $\frac{1}{2}$$S_{□ABCD}$，$S_{\triangle AFD}$ + $S_{\triangle BFC}$ = $\frac{1}{2}$$S_{□ABCD}$.
∴$S_{\triangle DCE}$ = $S_{\triangle AFD}$ + $S_{\triangle BFC}$.
∴$S_{\triangle DCE}$ - ($S_{\triangle AFD}$ + $S_{\triangle BFC}$) = 0.
∴$S_{阴影}$ = $S_{\triangle APD}$ + $S_{\triangle BQC}$ = 16 + 25 = 41(cm²).
(2)4 cm² 解析：设$S_{\triangle PDC}$ = x，则$S_{\triangle PAB}$ + x = $\frac{1}{2}$$S_{□ABCD}$，$S_{\triangle PAD}$ + $S_{\triangle PCD}$ + $S_{\triangle PAC}$ = $\frac{1}{2}$$S_{□ABCD}$. 由此得6 + x = 2 + x + $S_{阴影}$，
∴$S_{阴影}$ = 6 - 2 = 4(cm²).