《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

12 (原创题)如图，$A(2,4)$是正比例函数 $y = 2x$图象上的一点，点 $B$ 在正比例函数 $y = kx$ 的图象上，当$\triangle AOB$是等腰直角三角形，且 $\angle AOB = 90^{\circ}$时，正比例函数$y = kx$的解析式为________.
                                   

答案： $y = -\frac{1}{2}x$ 解析：作$AC\perp y$轴于点$C$，$BD\perp y$轴于点$D$。易证$\triangle AOC\cong\triangle OBD$。$\therefore AC = OD$，$OC = BD$。又$\because AC = 2$，$OC = 4$，$\therefore OD = 2$，$BD = 4$，$\therefore$点$B$的坐标为$(4, -2)$。代入正比例函数$y = kx$，得$k = -\frac{1}{2}$，$\therefore$所求的正比例函数的解析式为$y = -\frac{1}{2}x$。

13 如图，Rt$\triangle ABC$的顶点为 $A(1,0)$、$B(3,0)$、$C(3,5)$，将$\triangle ABC$沿 $x$ 轴向左平移，当点 $C$落在直线 $y = -2x$上时，线段 $AC$扫过的面积等于________.
       

答案： $\frac{55}{2}$ 解析：如图，$\triangle ABC$平移后为$\triangle A'B'C'$，连接$CC'$，$B'C' = BC = 5$。把$y = 5$代入$y = -2x$，得$x = -\frac{5}{2}$，$\therefore OB' = \frac{5}{2}$。又$\because A'B' = AB = 3 - 1 = 2$，$OA = 1$，$\therefore A'A = A'B' + B'O + OA = 2 + \frac{5}{2} + 1 = \frac{11}{2}$，$\therefore S_{\square A'ACC'} = A'A\cdot CB = \frac{11}{2}×5 = \frac{55}{2}$。![img id=1]

14 如图，已知直线 $l:y=\sqrt{3}x$(直线 $l$与 $x$轴的夹角是 $60^{\circ}$)，过点 $M(2,0)$作 $x$轴的垂线交直线 $l$于点 $N$，过点 $N$作直线 $l$的垂线交 $x$轴于点 $M_{1}$,过点 $M_{1}$作 $x$轴的垂线交直线 $l$于 $N_{1}$,过点 $N_{1}$作直线 $l$的垂线交 $x$轴于点 $M_{2}$,……按此作法继续下去，则点 $M_{n}$的坐标为________.
                

答案： $(2^{2n + 1}, 0)$ 解析：由题意，知$\angle MON = 60^{\circ}$。$\because NM\perp x$轴，$M_1N\perp$直线$l$，$\therefore\angle MNO = \angle OM_1N = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\therefore ON = 2OM$，$OM_1 = 2ON = 4OM = 2^2\cdot OM$。同理，$OM_2 = 2^2\cdot OM_1 = (2^2)^2\cdot OM$，……$OM_n = (2^2)^n\cdot OM = 2^{2n}\cdot 2 = 2^{2n + 1}$，$\therefore$点$M_n$的坐标为$(2^{2n + 1}, 0)$。

15 如图，正方形 $OABC$的对角线 $OB$在直线 $y = -\frac{4}{3}x$上，点 $A$在第一象限，若正方形的面积为50，则点 $A$的坐标为________.
       

答案：
$(1, 7)$ 解析：如图，作$BD\perp x$轴于点$D$。由正方形$OABC$的面积为$50$，可得$OB = 10$。设点$B$的横坐标为$m$，则纵坐标为$-\frac{4}{3}m$。在$Rt\triangle BOD$中，$OD^2 + BD^2 = OB^2$，即$m^2 + (-\frac{4}{3}m)^2 = 10^2$，解得$m = \pm6$。取$m = -6$，$-\frac{4}{3}m = -\frac{4}{3}×(-6) = 8$，$\therefore$点$B$的坐标为$(-6, 8)$。过点$A$作$x$轴的垂线$AE$，垂足为点$E$，过点$B$作$AE$的垂线$BF$，垂足为点$F$。设点$A$的坐标为$(a, b)$，易证$\triangle AOE\cong\triangle BAF$。$\therefore AF = OE = a$，$BF = AE = b$，由点$B$的坐标为$(-6, 8)$，可得$b - a = 6$，$b + a = 8$，解得$a = 1$，$b = 7$。$\therefore$点$A$的坐标为$(1, 7)$。

16 如图，已知正方形 $ABCD$的边长为4，点 $P$是 $DC$边上一动点，设 $DP = x$.
(1)求$\triangle APD$的面积 $y$ 与 $x$ 的函数解析式.(当点 $P$与点 $D$重合时,$y = 0$)
(2)$\triangle APD$的面积可以是10吗?
(3)画出函数的图象.

答案： 解：
(1)$y = \frac{1}{2}AD\cdot DP$，即$y = \frac{1}{2}×4x$，$\therefore y = 2x(0\leq x\leq4)$。
(2)把$y = 10$代入$y = 2x$，得$10 = 2x$，$x = 5$。$\because$点$P$在$CD$边上运动，$CD = 4$，即$x\leq4$，$\therefore\triangle APD$的面积不可以是$10$。
(3)略。

17 (原创题)正比例函数 $y = -2x$ 和 $y=\frac{2}{3}x$ 的图象如图所示，点 $A$是直线 $y=\frac{2}{3}x$上的一点，过点 $A$作 $x$轴的垂线，交直线 $y = -2x$于点 $B$,垂足为 $C$,当 $\triangle AOB$ 的面积为12时，求点 $A$ 的坐标.

答案： 解：设点$A$的横坐标为$m$，则点$A$的坐标为$(m, \frac{2}{3}m)$。而点$B$的横坐标与点$A$的横坐标相同，$\therefore$点$B$的坐标为$(m, -2m)$。$\because S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot OC$，$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot OC = 12$，$AB\cdot OC = 24$。又$\because AB = \frac{2}{3}m - (-2m) = \frac{2}{3}m + 2m = \frac{8}{3}m$，$OC = m$，$\therefore\frac{8}{3}m\cdot m = 24$，$m^2 = 9$，$m = 3$（负值舍去）。当$m = 3$时，$\frac{2}{3}m = \frac{2}{3}×3 = 2$，$\therefore$点$A$的坐标为$(3, 2)$。

18 (原创题 )如图，矩形 $OABC$ 的顶点 $A(4,0)$,、C(0,3)$分别在 $x$轴和 $y$轴上，正比例函数 $y = kx$ 的图象把矩形 $OABC$ 的面积分成了1：3两部分，求正比例函数的解析式.

答案： 解：当正比例函数$y = kx$的图象与$BC$相交于点$D$时，$\because S_{\triangle DOC}:S_{四边形OABD} = 1:3$，$S_{矩形OABC} = 4×3 = 12$，$\therefore S_{\triangle COD} = \frac{1}{4}S_{矩形OABC} = \frac{1}{4}×12 = 3$。而$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2}\cdot OC\cdot CD = \frac{3}{2}CD$，$\therefore\frac{3}{2}CD = 3$，解得$CD = 2$，$\therefore$点$D$的坐标为$(2, 3)$。把点$D$坐标代入$y = kx$，得$k = \frac{3}{2}$，$\therefore$正比例函数的解析式为$y = \frac{3}{2}x$。当正比例函数$y = kx$的图象与$AB$相交于点$D$时，$\because S_{\triangle AOD}:S_{四边形ODBC} = 1:3$，$\therefore S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4}S_{矩形OABC} = \frac{1}{4}×12 = 3$，即$\frac{1}{2}\cdot OA\cdot AD = 3$，$\frac{1}{2}×4AD = 3$，$AD = \frac{3}{2}$，$\therefore$点$D$的坐标为$(4, \frac{3}{2})$。把点$D$的坐标代入$y = kx$，得$k = \frac{3}{8}$，$\therefore$正比例函数的解析式为$y = \frac{3}{8}x$。综上，正比例函数的解析式为$y = \frac{3}{2}x$或$y = \frac{3}{8}x$。