《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

10 (易错题)如图，在正方形ABCD中，正方形的面积为2，G是AD边上一点，AG = 1，以AG为边作正方形AGEF，则∠AEB为 （ ）

A. 45°
B. 22.5°
C. 45°或22.5°
D. 67.5°或22.5°

答案： D 解析：如图①，当正方形AGEF在正方形ABCD外部时，由正方形ABCD的面积为2，可得AB = $\sqrt{2}$，由正方形AGEF的边长AG = 1，可得AE = $\sqrt{2}$，
∴AB = AE，
∴∠ABE = ∠AEB = $\frac{180° - (90° + 45°)}{2}$ = 22.5°. 如图②，当正方形AGEF在正方形ABCD内部时，AB = AE = $\sqrt{2}$，
∴∠AEB = ∠ABE = $\frac{180° - 45°}{2}$ = 67.5°. 易错提醒：当题目需要通过观察图形来解答时，而题目本身又没有画出图形，这就意味有多种结果，要注意分类讨论.

11 (2022·无锡)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG = ________.

答案： 1 解析：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，
∴AG = EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B = ∠C = 90°，AB = BC = CD = 8，
∵点E是CD的中点，
∴CE = 4， 设BG = $x$，则CG = 8 - $x$， 由勾股定理，得 EG² = CG² + CE² = (8 - $x$)² + 4²，AG² = AB² + BG² = 8² + $x²$，
∴(8 - $x$)² + 4² = 8² + $x²$， 解得$x$ = 1， 故答案为1.

12 (经典题)将边长为2的正方形OABC如图摆放，若∠α = 15°，则点B的坐标为______.

答案： (-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$) 解析：作BE⊥x轴于点E.
∵$\alpha$ = 15°，∠AOB = 45°，
∴∠BOE = 60°，
∴∠OBE = 30°.
∵OC = 2，
∴OB = 2$\sqrt{2}$，
∴OE = $\frac{1}{2}$OB = $\sqrt{2}$，由勾股定理得BE = $\sqrt{6}$，
∴点B的坐标为(-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$). 

13 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是________ cm².

答案： $\frac{2}{3}$

14 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG.
(2)求BG的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B = ∠D = 90°，AD = AB，由折叠的性质可知AD = AF，∠AFE = ∠D = 90°，
∴∠AFG = 90°，AB = AF， 在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\begin{cases}AB = AF \\ AG = AG\end{cases}$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG.
(2)解：
∵△ABG≌△AFG，
∴BG = FG， 设BG = FG = $x$，则GC = 6 - $x$.
∵E为CD的中点，
∴CE = EF = DE = 3，
∴EG = $x$ + 3. 在Rt△ECG中，由勾股定理，得CE² + GC² = EG²， 即3² + (6 - $x$)² = ($x$ + 3)²，解得$x$ = 2，
∴BG = 2.

15 如图①，四边形ABCD是正方形，F是BC边上一点，E是CD边的中点，且AE平分∠DAF.
(1)求证：AF = AD + CF.
(2)AF = DE + BF是否成立，若成立.请给出证明；若不成立，请说明理由.
(3)若四边形ABCD是矩形，其他条件不变，如图②，那么(1)、(2)中的结论是否成立？请你分别作出判断，不要求证明.

答案：

(1)证明：延长AE交BC的延长线于点G.
∵AE平分∠DAF，
∴∠1 = ∠2.
∵四边形ABCD为正方形.
∴AD//BC，
∴∠1 = ∠G，
∴∠2 = ∠G，
∴AF = GF.
∵E为CD中点，
∴DE = CE. 又
∵∠1 = ∠G，∠AED = ∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴AD = CG，
∴AF = GF = CF + CG = AD + CF.
(2)解：成立. 证明：延长CB到点G，使BG = DE，连接AG.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB = AD，∠ADE = 90°，∠ABC = 90°，
∴∠ABG = 90°，
∴∠ABG = ∠ADE. 又
∵BG = DE，
∴△ABG≌△ADE，
∴∠G = ∠AED，∠3 = ∠1.
∵AB//CD，
∴∠BAE = ∠AED，
∴∠4 + ∠2 = ∠AED.
∵AE平分∠DAF，
∴∠1 = ∠2，
∴∠3 = ∠2，
∴∠3 + ∠4 = ∠AED，即∠FAG = ∠AED，
∴∠FAG = ∠G，
∴AF = GF = BG + BF = DE + BF.
(3)
(1)中结论成立，
(2)中结论不成立.