《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

9 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE = 2DE，过点C作CF//BE交DE的延长线于点F.
（1）求证：四边形BCFE是菱形.
（2）若BC = 4，∠ABC = 90°，求菱形BCFE的面积.

答案： （1）证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE//BC，DE = 1/2BC，
∴EF//BC. 又CF//BE，
∴四边形BCFE为平行四边形. 又
∵BC = 2DE，BE = 2DE，
∴BC = BE，
∴平行四边形BCFE为菱形.（2）解：
∵四边形BCFE为菱形，
∴BE = BC = 4.
∵∠ABC = 90°，E为AC中点，
∴BE = 1/2AC = CE = 4.作EG⊥BC于点G，则BG = CG = 2. 在Rt△BEG中，易求EG = 2√3，
∴S菱形BCFE = BC·EG = 4×2√3 = 8√3.

10 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB = AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）若AB = √5，BD = 2，求OE的长.

答案： （1）证明：
∵AB = AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，BO = DO.
∵AB//CD，
∴∠BAO = ∠DCO. 又BO = DO，∠AOB = ∠COD，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB = CD，即AB//CD，
∴四边形ABCD为平行四边形. 又AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形.（2）解：
∵BD = 2，
∴BO = 1. 又
∵∠AOB = 90°，AB = √5，
∴AO = 2，
∴AC = 4.
∵CE⊥AE于点E，
∴∠AEC = 90°. 又
∵AO = CO，
∴OE = 1/2AC = 1/2×4 = 2.名师点睛：菱形的其中一条重要的性质就是对角线互相垂直，这样就顺理成章地把菱形和勾股定理结合在一起了，根据对角线的长可以求边长，根据边长可以求对角线的长.

11（2022·连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE = AD，且BE⊥DC.
（1）求证：四边形DBCE为菱形.
（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P，M，N分别在线段BE，BC，CE上运动，求PM + PN的最小值.

答案：
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD = BC，
∵DE = AD，
∴DE = BC，又
∵点E在AD的延长线上，
∴DE//BC，
∴四边形DBCE为平行四边形，又
∵BE⊥DC，
∴四边形DBCE为菱形.（2）解：如图，由菱形对称性得，点N关于直线BE的对称点N'在DE上，
∴PM + PN = PM + PN'，当点P，M，N'共线时，PM + PN = PM + PN' = MN'，过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵DE//BC，
∴MN'的最小值即为平行线间的距离DH的长，
∵△DBC是边长为2的等边三角形，
∴在Rt△DBH中，∠DBC = 60°，DB = 2，
∴DH = √3，
∴PM + PN的最小值为√3.

12（探究题）如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 60 cm，∠A = 60°，点D从点A出发沿AC方向以4 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2 cm/s的速度向点A运动，设点D，E运动的时间为t s（0＜t＜15），过点D作DF⊥BC于点F，连接EF.
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形.
（2）当t为何值时，四边形AEFD为菱形？说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

答案：
（1）证明：由题意得AD = 4t cm，BE = 2t cm，
∴CD =（60 - 4t）cm. 又∠C = 30°，∠B = 90°，
∴AB = 1/2AC = 30 cm，
∴AE =（30 - 2t）cm.
∵DF⊥BC，
∴∠DFC = ∠DFB = 90°，
∴DF = 1/2CD = 1/2（60 - 4t）=（30 - 2t）（cm），
∴AE//DF，
∴四边形AEFD为平行四边形.（2）解：当AD = DF时，四边形AEFD为菱形.
∵DF =（30 - 2t）cm，AD = 4t cm，
∴30 - 2t = 4t，解得t = 5，
∴当t = 5时，四边形AEFD为菱形.（3）解：①当∠EDF = 90°时（如图①），△DEF为直角三角形. 此时，∠ADE = 30°，AE = 1/2AD. 又AE =（30 - 2t）cm，AD = 4t cm，
∴30 - 2t = 1/2×4t，解得t = 15/2.②当∠DEF = 90°时（如图②），△DEF为直角三角形. 此时，∠ADE = 90°，∠AED = 30°，
∴AD = 1/2AE，
∴4t = 1/2（30 - 2t），解得t = 3. 综上，
∴当t = 15/2或t = 3时，△DEF为直角三角形.