《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中一定相等的线段有（ ）

A. 2组
B. 4组
C. 6组
D. 8组

答案： B

2 如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，若AB = 5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）

A. 18
B. 28
C. 36
D. 46

答案： C

3 已知平行四边形的一边长为6 cm，那么它的两条对角线的长不可能是（ ）
A. 4 cm，8 cm
B. 20 cm，30 cm
C. 6 cm，8 cm
D. 8 cm，12 cm

答案： A

4 如图，在□ABCD中，AC⊥BC，AD = AC = 4，则BD的长为_______.

答案： $4\sqrt{5}$

5（经典题）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，当∠ABD = 30°，AB = $\sqrt{6}$时，BC的长为_______.

答案： $\sqrt{14}$ 解析：在Rt△AOB中，
∵∠ABO = 30°，
∴AO = $\frac{1}{2}$BO。设AO = x，则BO = 2x。由勾股定理得$x^{2}+(\sqrt{6})^{2}=(2x)^{2}$，解得$x = \sqrt{2}$，
∴AC = 2AO = $2\sqrt{2}$。在Rt△ABC中，$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=(\sqrt{6})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=6 + 8 = 14$，
∴BC = $\sqrt{14}$。

6 如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EO⊥AC，交BC于点E，连接AE.
(1)若△ABE的周长为10 cm，求□ABCD的周长；
(2)若∠ABC = 78°，AE平分∠BAC，求∠DAC的度数.

答案： 解：
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO = CO。又EO⊥AC，
∴AE = CE。
∵△ABE的周长为10 cm，
∴AB + BE + AE = AB + BC = 10 cm。又
∵AB = CD，BC = AD，
∴□ABCD的周长为2×10 = 20(cm)。
(2)
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠CAE。
∵EA = EC，
∴∠CAE = ∠ACE = ∠BAE = $\frac{180^{\circ}-78^{\circ}}{3}=34^{\circ}$。
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC = ∠ACB = 34°。

7 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E. 若AB = $\sqrt{3}$，AC = 2，BD = 4，则AE的长为（ ）

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{\sqrt{21}}{7}$
D. $\frac{2\sqrt{21}}{7}$

答案： D 解析：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO = CO = 1，BO = DO = 2。在△ABO中，
∵$AB^{2}+AO^{2}=(\sqrt{3})^{2}+1^{2}=3 + 1 = 4$，$BO^{2}=2^{2}=4$，
∴$AB^{2}+AO^{2}=BO^{2}$，
∴∠BAO = 90°，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times2=\sqrt{3}$，
∴$S_{□ABCD}=2\sqrt{3}$。在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC = $\sqrt{7}$。
∵$S_{□ABCD}=BC\cdot AE=\sqrt{7}AE$，
∴$\sqrt{7}AE = 2\sqrt{3}$，
∴AE = $\frac{2\sqrt{21}}{7}$。

8（易错题）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC = 60°，AB = $\frac{1}{2}$BC，连接OE. 有下列结论：①∠CAD = 30°；②S□ABCD = AB·AC；③DB = AB；④OE = $\frac{1}{2}$AB. 其中成立的有（ ）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C 解析：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//DC。
∵∠ADC = 60°，
∴∠BAD = 120°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE = ∠DAE = 60°，
∴∠AEB = 60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB = BE。 又$AB=\frac{1}{2}BC$，
∴AB = BE = AE = EC，
∴∠EAC = ∠ECA = 30°，
∴∠BAC = 90°，
∴∠CAD = 120° - 90° = 30°。①正确。$S_{□ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2\times\frac{1}{2}AB\cdot AC = AB\cdot AC$。②正确。DB≠AB。③不正确。
∵AE = CE，AO = CO，
∴EO⊥CO，
∴∠EOC = 90°。又∠OCE = 30°，
∴OE = $\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AB$。④正确。