《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

22 (经典题)化简求值：$2a(a + b)-(a + b)^{2}$，其中$a=\sqrt{2021},b=\sqrt{2022}$.

答案： 解：$2a(a + b)-(a + b)^{2}=2a^{2}+2ab-(a^{2}+2ab + b^{2})=2a^{2}+2ab - a^{2}-2ab - b^{2}=a^{2}-b^{2}$。当$a=\sqrt{2021}$，$b=\sqrt{2022}$时，原式$=(\sqrt{2021})^{2}-(\sqrt{2022})^{2}=2021 - 2022=-1$。

23当$0 ＜ a ＜1$时，化简$\sqrt{(a+\frac{1}{a})^{2}-4}+\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}+4}$.

答案： 解：原式$=\sqrt{a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}-4}+\sqrt{a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}+4}=\sqrt{a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}}=\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}}+\sqrt{(a+\frac{1}{a})^{2}}=\vert a-\frac{1}{a}\vert+\vert a+\frac{1}{a}\vert$。$\because0\lt a\lt1$，$\therefore a-\frac{1}{a}\lt0$，$a+\frac{1}{a}\gt0$，$\therefore$原式$=\frac{1}{a}-a + a+\frac{1}{a}=\frac{2}{a}$。

24 (经典题)在下列条件下化简$\sqrt{m^{2}-4m +4}+\sqrt{m^{2}+6m +9}$.
(1)$m ＜ -3$；(2)$-3\leqslant m\leqslant2$；(3)$m ＞2$.

答案： 解：$\sqrt{m^{2}-4m + 4}+\sqrt{m^{2}+6m + 9}=\sqrt{(m - 2)^{2}}+\sqrt{(m + 3)^{2}}=\vert m - 2\vert+\vert m + 3\vert$。
(1)当$m\lt - 3$时，$m - 2\lt0$，$m + 3\lt0$，$\therefore$原式$=-(m - 2)-(m + 3)=-m + 2 - m - 3=-2m - 1$；
(2)当$-3\leq m\leq2$时，$m - 2\leq0$，$m + 3\geq0$，$\therefore$原式$=-(m - 2)+(m + 3)=-m + 2 + m + 3 = 5$；
(3)当$m\gt2$时，$m - 2\gt0$，$m + 3\gt0$，$\therefore$原式$=m - 2 + m + 3=2m + 1$。

25 (探究题)阅读材料：
数学上有一种根号内还带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.
例如：
$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}=\sqrt{3 + 2\times1\times\sqrt{2}}$
$=\sqrt{1^{2}+2\times1\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2\times\sqrt{2}\times1 +1^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}=\sqrt{2}+1$.
解决问题：
(1)模仿上例的过程填空.
$\sqrt{14 +6\sqrt{5}}=\sqrt{14 +2\times3\times\sqrt{5}}=$_______=_______=_______=_______.
(2)根据上述思路，试将下列各式化简：
①$\sqrt{30 -10\sqrt{5}}$；②$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

答案： 解：
(1)$\sqrt{3^{2}+2\times3\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}}\ \sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2\times\sqrt{5}\times3+3^{2}}\ \sqrt{(\sqrt{5}+3)^{2}}\ \sqrt{5}+3$
(2)①$\sqrt{30 - 10\sqrt{5}}=\sqrt{30 - 2\times5\times\sqrt{5}}=\sqrt{25 - 2\times5\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2\times5\times\sqrt{5}+5^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5}-5)^{2}}=5-\sqrt{5}$。②原式$=\sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{4 + 2\times1\times\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{3 + 2\times1\times\sqrt{3}+1}=\frac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2\times1\times\sqrt{3}+1}=\frac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。