《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

9 (易错题)如图，在矩形ABCD中，AD = 2，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为（ ）

A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. 2或$\sqrt{3}$
D. 4或$2\sqrt{3}$

答案： C 解析：如图①，当AB = BC = 2时，使△PBC为等腰三角形的点P有且只有3个，其中P₁与A重合，P₃与D重合，P₂为AD的中点。如图②，当△P₂BC为等边三角形时，使△PBC为等腰三角形的点P有且只有3个，此时可求得AB = $\sqrt{3}$。

10 (2022·吉林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF = $\frac{1}{4}$AC，连接EF.若AC = 10，则EF = ______.

答案： $\frac{5}{2}$ 解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD = AC = 10，OA = $\frac{1}{2}$AC，OD = $\frac{1}{2}$BD = 5，
∵AF = $\frac{1}{4}$AC，
∴AF = $\frac{1}{2}$OA，即点F是OA的中点。
∵点E是边AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$OD = $\frac{5}{2}$。故答案为$\frac{5}{2}$。

11 如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5，过对角线的交点O作OE⊥AC，交AD于点E，则AE的长为______.

答案： $\frac{17}{5}$ 解析：如图，连接CE。易知CE = AE。设AE = x，则CE = x，
∵AD = BC = 5，
∴DE = 5 - x。又CD = AB = 3，在Rt△CDE中，CD² + ED² = CE²，即3² + (5 - x)² = x²，解得x = $\frac{17}{5}$，
∴AE = $\frac{17}{5}$。

12 如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC = ∠CAB，∠DEC = 90°.
(1)求证：AC//DE.
(2)过点B作BF⊥AC于点F，求证：△DEC≌△AFB.
(3)连接EF，求证：四边形BCEF为平行四边形.

答案： 证明：
(1)
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴∠DCA = ∠CAB。又∠EDC = ∠CAB，
∴∠DCA = ∠EDC，
∴AC//DE。
(2)
∵BF⊥AC，
∴∠AFB = ∠DEC = 90°。又
∵∠EDC = ∠FAB，DC = AB，
∴△DEC≌△AFB。
(3)
∵△DEC≌△AFB，
∴∠ECD = ∠FBA，CE = BF。
∵BF⊥AC，
∴∠BFA = ∠BFC = 90°，
∴∠ABF + ∠BAF = 90°。
∵AB//CD，
∴∠BAF = ∠DCA，
∴∠ECF = ∠ECD + ∠DCA = 90°，
∴∠ECF = ∠BFC，
∴CE//BF。又CE = BF，
∴四边形BCEF为平行四边形。

13 如图，矩形ABCD中，M是BC的中点，DE⊥AM于点E，连接CE并延长交AB于点N.判断△ANE的形状，并证明你的结论.

答案： 解：△ANE为等腰三角形。证明：延长AM交DC的延长线于点F。
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B = 90°，∠DCB = 90°，
∴∠FCM = 90°，
∴∠B = ∠FCM。又
∵BM = CM，∠AMB = ∠FMC，
∴△ABM≌△FCM，
∴AB = FC，
∴∠NAE = ∠F。又AB = CD，
∴FC = CD。
∵DE⊥AM，
∴∠DEF = 90°，
∴EC = $\frac{1}{2}$DF = CF，
∴∠CEF = ∠F。
∴∠CEF = ∠NAE，又∠AEN = ∠CEF，
∴∠AEN = ∠NAE，
∴AN = EN，
∴△ANE为等腰三角形。

14 (探究题)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接BD.
(1)求∠AEC的度数.
(2)求证：BE = DC.
(3)点P是线段EF上一动点(不与点E，F重合)，连接BP，DP，在点P的运动过程中能否使△BDP成为等腰直角三角形？若能，求出点P满足的条件并证明；若不能，说明理由.

答案：

(1)解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD = 90°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE = 45°。又∠ABE = 90°，
∴∠BEA = 45°，
∴∠AEC = 180° - 45° = 135°。
(2)证明：
∵∠BAE = ∠BEA = 45°，
∴AB = EB。又
∵AB = CD，
∴BE = DC。
(3)解：当点P为EF中点时，△BDP为等腰直角三角形。理由：连接PC。

 
∵∠DCB = 90°，
∴∠ECF = 90°。又∠CEF = ∠AEB = 45°，
∴∠F = 45°，
∴CE = CF。又
∵P为EF中点，
∴CP = EP，且∠PCE = 45°，
∴∠DCP = 90° + 45° = 135°。又∠BEP = ∠AEC = 135°，
∴∠BEP = ∠DCP。又
∵BE = DC，EP = CP，
∴△BEP≌△DCP，
∴BP = DP，∠BPE = ∠DPC。又∠DPC + ∠EPD = 90°，
∴∠BPE + ∠EPD = 90°，
∴∠BPD = 90°，
∴△BDP为等腰直角三角形。