《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

11（原创题）如图，点$P$为直线$y = -\frac{4}{3}x + 4$上的一动点，连接$OP$，则（ ）

A. $OP$有最大值为4
B. $OP$有最小值为3
C. $OP$有最大值为$\frac{24}{5}$
D. $OP$有最小值为$\frac{12}{5}$

答案： D 解析：设直线y = -4/3x + 4与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，令y = 0，则-4/3x + 4 = 0，解得x = 3，
∴点A的坐标为(3,0)。 令x = 0，解得y = 4，
∴点B的坐标为(0,4)，
∴OA = 3，OB = 4，
∴由勾股定理得AB = 5。当OP⊥AB时，OP的值最小。利用三角形面积可得OP = 12/5。

12 在直线$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$上，到$x$轴或$y$轴的距离为1的点有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

13 将直线$y = 2x + 1$先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后所得直线的解析式为__________.

答案： y = 2x + 8

14 正方形$A_1B_1C_1O,A_2B_2C_2C_1,A_3B_3C_3C_2,\cdots$按如图放置，点$A_1,A_2,A_3,\cdots$,和点$C_1,C_2,C_3,\cdots$,分别在直线$y = x + 1$和$x$轴上，则点$C_6$的坐标是________.

答案： (63,0) 解析：易得点C₁的横坐标为1 = 2¹ - 1；点C₂的横坐标为1 + 2 = 3 = 2² - 1；点C₃的横坐标为1 + 2 + 4 = 7 = 2³ - 1；点C₄的横坐标为1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 2⁴ - 1；
∴点C₆的横坐标为2⁶ - 1，
∴点C₆的坐标为(63,0)。

15 将直线$y = 2x + 1$向上平移3个单位长度，则所得直线与$x$轴，$y$轴围成的图形的面积为________.

答案： 4 解析：把直线y = 2x + 1向上平移3个单位长度可得直线y = 2x + 4。设直线y = 2x + 4与x轴，y轴的交点分别为A，B。 当x = 0时，y = 4，
∴点B的坐标为(0,4)。 当y = 0时，2x + 4 = 0，x = -2，
∴点A的坐标为(-2,0)，
∴OA = 2，OB = 4，
∴S△AOB = 1/2×2×4 = 4。

16（原创题）如图，直线$y = -\frac{3}{4}x + 3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B,M$为线段$AB$上一点，当$\triangle AOM$为等腰三角形时，求点$M$的坐标.

答案：
解：对于直线y = -3/4x + 3， 当y = 0时，解得x = 4，
∴点A的坐标为(4,0)。当x = 0时，解得y = 3，
∴点B的坐标为(0,3)。
   
①当MO = MA时，作MN⊥OA于点N，如图①，则ON = AN = 2。把x = 2代入y = -3/4x + 3，得y = 3/2。
∴点M的坐标为(2,3/2)。

②当AM = AO时，过点M作MN⊥x轴于点N，过点O作OC⊥AB于点C，如图②，易求AB = 5，从而求出OC = 12/5。
∵OA·MN = AM·OC，即4MN = 4×12/5，
∴MN = 12/5。 把y = 12/5代入y = -3/4x + 3，得x = 4/5，
∴点M的坐标为(4/5,12/5)。 综上，点M的坐标为(2,3/2)或(4/5,12/5)。

17（原创题）如图，把直线${l}_{1}:y=\frac{1}{2}x}$向上平移$\sqrt{5}$个单位长度得到直线${l}_{2}$,直线${l}_{2}$交${y}$轴于点${A}$,${B}$是直线${l}_{2}$上一点，过点${B}$作${x}$轴的垂线，垂足为点${D}$,交${l}_{1}$于点${C}$.
(1)求直线${l}_{2}$的函数解析式.
(2)当四边形${OABC}$为菱形时，求点${B}$的坐标.

答案： 解：
(1)l₂的函数解析式为y = 1/2x + √5。
(2)
∵OA//BC，AB//OC，
∴四边形OABC为平行四边形。 当OA = OC时，四边形OABC为菱形，设点C的坐标为(m,1/2m)， 则OC = √(m² + (1/2m)²) = √(5/4m²) = √5/2m。 又
∵OA = √5，
∴√5/2m = √5，
∴m = 2，
∴点C的坐标为(2,1)。 又
∵BC = OA = √5，
∴点B的坐标为(2,√5 + 1)。