《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

14 (经典题)如图，在面积为48 $cm^{2}$的大正方形的四角分别剪去一个面积为3 $cm^{2}$的小正方形，然后做成一个无盖的纸盒，则这个纸盒的容积为_______$cm^{3}$.

答案： $12\sqrt{3}$ 解析：大正方形的边长为$\sqrt{48}=4\sqrt{3}(cm)$，小正方形的边长为$\sqrt{3}cm$，$\therefore$做成的纸盒的底面边长为$4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}(cm)$，高为$\sqrt{3}cm$，$\therefore$容积为$(2\sqrt{3})^{2}×\sqrt{3}=12\sqrt{3}(cm^{3})$。

15 已知$a^{2}+b^{2}-4a - 6b + 13 = 0$，求$\sqrt{\frac{a}{3}}+\sqrt{\frac{b}{2}}$的值.

答案： 解：由$a^{2}+b^{2}-4a - 6b + 13 = 0$，得$(a - 2)^{2}+(b - 3)^{2}=0$，$\therefore a - 2 = 0$且$b - 3 = 0$，$\therefore a = 2$，$b = 3$，$\therefore$原式$=\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}+\frac{1}{2}\sqrt{6}=\frac{5}{6}\sqrt{6}$。

16 已知$a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，求代数式$\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$的值.

答案： 解：$\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{(a - b)^{2}}{(a + b)(a - b)}=\frac{a - b}{a + b}$。由$a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$得，$a - b=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2}=1$，$a + b=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore$原式$=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 名师点睛：先将代数式化简，计算$a - b$、$a + b$的值后再代入求值比较方便。

17 (经典题)已知$a$，$b$，$c$满足$\vert a - 2\sqrt{2}\vert+\sqrt{b - 5}+(c - 3\sqrt{2})^{2}=0$.
(1)求$a$，$b$，$c$的值.
(2)以$a$，$b$，$c$为三边长能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由.

答案： 解：
(1)由题可得$a = 2\sqrt{2}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$。
(2)$\because a ＜ c ＜ b$，$a + c = 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，$\therefore a + c ＞ b$，$\therefore$以$a$，$b$，$c$为三边长能组成三角形，其周长为$5\sqrt{2}+5$。

18 先计算，再求值：$(\frac{1}{x - y}-\frac{1}{x + y})\div\frac{2y}{x^{2}-2xy + y^{2}}$，其中$x = 2 + 3\sqrt{2}$，$y = 2 - 3\sqrt{2}$.

答案： 解：$(\frac{1}{x - y}-\frac{1}{x + y})\div\frac{2y}{x^{2}-2xy + y^{2}}=\frac{(x + y)-(x - y)}{(x + y)(x - y)}·\frac{(x - y)^{2}}{2y}=\frac{2y}{(x + y)(x - y)}·\frac{(x - y)^{2}}{2y}=\frac{x - y}{x + y}$。又$x - y=(2 + 3\sqrt{2})-(2 - 3\sqrt{2})=2 + 3\sqrt{2}-2 + 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，$x + y=(2 + 3\sqrt{2})+(2 - 3\sqrt{2})=2 + 3\sqrt{2}+2 - 3\sqrt{2}=4$，$\therefore$原式$=\frac{6\sqrt{2}}{4}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$。

19 (探究题)阅读下列解题过程，然后回答问题：
已知$\alpha+\beta=-\frac{3}{2}$，$\alpha\beta=\frac{1}{2}$，求$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$的值.
解：$\because\alpha+\beta=-\frac{3}{2}$，$\alpha\beta=\frac{1}{2}$，
$\therefore\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}=\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}+\frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}}=\frac{(\sqrt{\alpha})^{2}+(\sqrt{\beta})^{2}}{\sqrt{\alpha\beta}}=\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha\beta}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=-\frac{3}{2}\sqrt{2}$.
上面的解法是否正确？若不正确，找出错因，并写出正确的解题过程.

答案： 解：题中的解法不正确，根据已知条件知$\alpha+\beta＜0$，$\alpha\beta＞0$，可知$\alpha＜0$，$\beta＜0$。故$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}=\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}+\frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}}$是错误的。 正确的解题过程：$\because\alpha+\beta=-\frac{3}{2}＜0$，$\alpha\beta=\frac{1}{2}＞0$，$\therefore\alpha$，$\beta$都是负数。$\therefore\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}=-\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{\beta}-\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{\alpha}=-(\frac{1}{a}+\frac{1}{\beta})\sqrt{\alpha\beta}=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\sqrt{\alpha\beta}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$。