《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

1 计算：$\sqrt{4}=$ （ ）
A. 2
B. $\pm2$
C. 16
D. $\pm16$

答案： A 解析：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，它的值是正的，且只有一个。

2 若正方形的面积为5，则它的周长为______.

答案： $4\sqrt{5}$ 解析：正方形的边长是面积的算术平方根，因此边长为$\sqrt{5}$，从而周长为$4\sqrt{5}$。

3 已知二次根式$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，则当$a = 5$，$b = 12$时，它的值为______.

答案： 13 解析：$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13$。

4 (原创题)下列二次根式中，总有意义的是 （ ）
A. $\sqrt{a}$
B. $\sqrt{a + 1}$
C. $\sqrt{a^{2}+2a}$
D. $\sqrt{a^{2}+2a + 1}$

答案： D

5 (2022·北京)若$\sqrt{x - 8}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是______.

答案： $x\geq8$ 解析：由题意得$x - 8\geq0$，解得$x\geq8$。故答案为$x\geq8$。

6 求下列各式中$x$的取值范围.
(1)$\sqrt{\frac{1}{2}x - 1}$； (2)$\sqrt{-x - 1}$；
(3)$\sqrt{x + 4}+\sqrt{3 - x}$； (4)$\sqrt{\frac{1}{x - 1}}$.

答案： 解：
(1)$x\geq2$；
(2)$x\leq - 1$；
(3)$-4\leq x\leq3$；
(4)$x＞1$。

7 下列式子中，是代数式的是 （ ）
A. $y=\sqrt{x}$
B. $3x + y = 4$
C. $2x + 3 ＜ x - 4$
D. $\sqrt{x + y}$

答案： D

8 已知代数式$\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}$，则当$x = 6$时，它的值为______.

答案： $\frac{7}{5}$ 解析：$\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^{2}}=\frac{x + 1}{x - 1}$，当$x = 6$时，原式$=\frac{7}{5}$。

9 若$\sqrt{3n}$是整数，则正整数$n$的最小值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B 解析：当$n = 3$时，$\sqrt{3n}=\sqrt{3\times3}=\sqrt{9}=3$。

10 使二次根式$\sqrt{4 - 3x}$有意义的最大整数$x$的值是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A 解析：由$4 - 3x\geq0$，得$x\leq\frac{4}{3}$，$x$取最大整数为1。

11 (经典题)使代数式$\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}$有意义的$x$的取值范围是 （ ）
A. $x＞3$
B. $x\geq3$
C. $x＞4$
D. $x\geq3$且$x\neq4$

答案： D 解析：由$x - 3\geq0$得$x\geq3$。又$x - 4\neq0$，$\therefore x\geq3$且$x\neq4$。

12 (原创题)二次根式$\sqrt{x^{2}-4x + 5}$（ ）
A.有最大值为5
B.有最小值为5
C.有最大值为1
D.有最小值为1

答案： D 解析：$\sqrt{x^{2}-4x + 5}=\sqrt{x^{2}-4x + 4 + 1}=\sqrt{(x - 2)^{2}+1}$，所以原式有最小值为1。

13 (2022·常德)使式子$\frac{x}{\sqrt{x - 4}}$有意义的$x$的取值范围是______.

答案： $x＞4$ 解析：根据题意，得$x - 4＞0$，解得$x＞4$。

14 已知$x$，$y$是实数，且满足$\sqrt{1 + x}-(y - 1)\cdot\sqrt{1 - y}=0$，则$x^{2022}-y^{2022}=$______.

答案： 0 解析：原等式可化为$\sqrt{1 + x}+(1 - y)\sqrt{1 - y}=0$。由于$\sqrt{1 + x}\geq0$，$(1 - y)\sqrt{1 - y}\geq0$，$\therefore1 + x = 0$，$1 - y = 0$。从而得$x = - 1$，$y = 1$。$\therefore x^{2022}-y^{2022}=(-1)^{2022}-1^{2022}=1 - 1 = 0$。