《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

12 (易错题)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a,b,c，若a + b = 4,ab = 1,c = √14，则△ABC是（ ）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰直角三角形

答案： B 解析：(a + b)² = 4²，a² + 2ab + b² = 16， 又ab = 1，
∴a² + b² = 14， 又c = √14，
∴c² = 14.
∴a² + b² = c²，
∴△ABC是直角三角形。

13 如图，在四边形ABCD中，∠ABC = 90°，若AB = 1,BC = 2,CD = √5,AD = √10，则BD的长为_______.

答案：
√13 解析：作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，连接AC，如图所示，则∠M = 90°，
∴∠DCM + ∠CDM = 90°。
∵∠ABC = 90°，AB = 1，BC = 2，
∴AC² = AB² + BC² = 5，
∴AC = √5。
∵CD = √5，AD = √10，
∴AC² + CD² = AD²，
∴△ACD是等腰直角三角形，∠ACD = 90°，AC = CD，
∴∠ACB + ∠DCM = 90°，
∴∠ACB = ∠CDM，
∵∠ABC = ∠M = 90°，AC = CD，
∴△ABC≌△CMD.
∴CM = AB = 1，DM = CB = 2，
∴BM = 2 + 1 = 3，
∴BD = √BM² + DM² = √13。

14 (2022·咸宁)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；….这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数)，则其弦是_______（结果用含m的式子表示）.

答案： m² + 1 解析：2m为偶数，设股为a，则弦为a + 2. 由勾股定理得a² + (2m)² = (a + 2)²， 解得a = m² - 1， 所以弦是m² + 1.

15 如图，在四边形ABCD中，∠D = 90°，AB = 2,BC = 4,CD = AD = √6.
(1)求∠BAD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积.

答案：
解：
(1)连接AC.在Rt△ADC中，AC² = AD² + CD² = (√6)² + (√6)² = 6 + 6 = 12，
∴AC = √12 = 2√3。在△ABC中，
∵AB² + AC² = 2² + (2√3)² = 4 + 12 = 16，BC² = 4² = 16，
∴AB² + AC² = BC²，
∴∠BAC = 90°。
∵∠D = 90°，CD = AD，
∴∠DAC = 45°，
∴∠BAD = 135°。
(2)S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = 1/2×2×2√3 + 1/2×√6×√6 = 2√3 + 3.

16 如图，在△ABC中，CD是高，已知CD² = AD·BD，求证：△ABC是直角三角形.

答案： 证明：
∵CD是高，
∴∠ADC = ∠BDC = 90°。在Rt△ACD中，AC² = AD² + CD²。在Rt△BCD中，BC² = BD² + CD²。在△ABC中，
∵AC² + BC² = AD² + CD² + BD² + CD² = AD² + 2CD² + BD² = AD² + 2AD·BD + BD² = (AD + BD)² = AB²，
∴△ABC是直角三角形。

17 (探究题)如图，CD是△ABC的高，AD = 9,BD = 16，问：当高CD为多少时，△ABC是直角三角形?

答案： 解：当AC² + BC² = AB²时，△ABC是直角三角形。
∵CD是高，
∴∠ADC = ∠BDC = 90°。设CD = x，在Rt△ACD中，AC² = AD² + CD² = 9² + x² = x² + 81；在Rt△BCD中，BC² = BD² + CD² = 16² + x² = x² + 256。 代入AC² + BC² = AB²，得x² + 81 + x² + 256 = (9 + 16)²，解得x = 12. 即当CD = 12时，△ABC是直角三角形。

18 (原创题)如图，在△ABC中，AC = BC,D,E为AB边上的两点，且∠DCE = 1/2∠ACB，AD² + BE² = DE²，求证：△ABC为等腰直角三角形.

答案：
证明：作△BCF≌△ACD，如图所示。连接EF.
∵∠DCE = 1/2∠ACB，
∴∠ACD + ∠BCE = ∠DCE。又
∵∠ACD = ∠BCF，
∴∠BCF + ∠BCE = ∠DCE，即∠FCE = ∠DCE. 在△DCE和△FCE中，{CD = CF，∠DCE = ∠FCE，CE = CE}，
∴△DCE≌△FCE，
∴DE = FE.
∵AD² + BE² = DE²，
∴BF² + BE² = EF²，
∴△BEF是直角三角形，
∴∠EBF = 90°。即∠CBA + ∠CBF = 90°。又∠A = ∠CBF，
∴∠CBA + ∠A = 90°，
∴∠ACB = 90°。又AC = BC，
∴△ABC是等腰直角三角形。