《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

1 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE = CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE = BF，∠BEF = 2∠BAC.
(1)求证：OE = OF.
(2)若AD = 1，求AB的长.

答案：
（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，所以∠CAE = ∠ACF，∠CFO = ∠AEO，在△AOE和△COF中，∠OAE = ∠OCF，AE = CF，∠AEO = ∠CFO，所以△AOE≌△COF(ASA)，所以OE = OF。 （2）解：连接OB，如图所示。因为BF = BE，OE = OF，所以BO⊥EF。由（1）知，△AOE≌△COF，所以OA = OC。因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC = 90°，BC = AD = 1，所以BO = $\frac{1}{2}$AC = OA，所以∠BAC = ∠OBA。又∠BEF = 2∠BAC，所以∠BEF = 2∠OBE。在Rt△OBE中，∠BEO + ∠OBE = 90°，所以∠OBE = 30°，所以∠BAC = 30°，所以AB = $\sqrt{3}$BC = $\sqrt{3}$。

2 如图，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF.
(1)求证：CE = AF.
(2)EF与AD交于点P，∠DPE = 42°，求∠CBE的度数.

答案： （1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB = BC。因为△BEF是等边三角形，所以BE = BF，∠FBE = 60°。所以∠ABC = ∠EBF，所以∠ABF = ∠CBE，又AB = CB，BF = BE，所以△ABF≌△CBE(SAS)，所以CE = AF。 （2）解：因为四边形ABCD是菱形，所以∠C + ∠D = 180°。因为∠BEF = 60°，所以∠DEP + ∠BEC = 120°。因为∠DPE + ∠D + ∠DEP = 180°，∠C + ∠CBE + ∠BEC = 180°，所以∠DPE + ∠D + ∠DEP + ∠C + ∠CBE + ∠BEC = 360°，所以∠CBE = 60° - ∠DPE = 18°。

3 如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD = 2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E.
(1)求证：四边形ABED为菱形.
(2)若BD = 6，∠E = 60°，求四边形ABEF的面积.

答案： （1）证明：因为在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，所以DF是△ABC的中位线，所以DF//AB，DF = $\frac{1}{2}$AB。因为BE//AD，所以四边形ABED是平行四边形。因为AD = 2DF，所以AD = AB，所以四边形ABED为菱形。 （2）解：过B作BG⊥EF于点G，因为四边形ABED为菱形，所以AB = BE = DE。因为∠E = 60°，所以△BDE是等边三角形，所以AB = BE = DE = BD，所以EF = 9。因为BG⊥EF，所以DG = $\frac{1}{2}$DE = 3，所以BG = $\sqrt{3}$DG = 3$\sqrt{3}$，所以四边形ABEF的面积 = $\frac{(6 + 9)×3\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{45\sqrt{3}}{2}$。

4 矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于点G、H.
求证：(1)四边形AFCE是平行四边形.
(2)EG = FH.

答案： 证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，AD = BC。因为E、F分别是AD、BC的中点，所以AE = $\frac{1}{2}$AD，CF = $\frac{1}{2}$BC，所以AE = CF，所以四边形AFCE是平行四边形。 （2）因为四边形AFCE是平行四边形，所以CE//AF，所以∠DGE = ∠AHD = ∠BHF。因为AD//CB，所以∠EDG = ∠FBH。在△DEG和△BFH中，∠DGE = ∠BHF，∠EDG = ∠FBH，DE = BF，所以△DEG≌△BFH(AAS)，所以EG = FH。