《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

15 若式子$\frac{2x - 5}{\sqrt{x + 3}+1}$的值是负数，求$x$的取值范围.

答案： 解：$\because$当$x + 3\geq0$时，$\sqrt{x + 3}+1＞0$，$\therefore$当$\begin{cases}2x - 5＜0 \\ x + 3\geq0\end{cases}$，即$-3\leq x＜\frac{5}{2}$时，原式的值为负数。

16 已知$\sqrt{x - y + 5}$与$\sqrt{x + y - 3}$互为相反数，求$\sqrt{8 - 2xy}$的值.

答案： 解：因为$\sqrt{x - y + 5}$与$\sqrt{x + y - 3}$都是非负的，所以它们互为相反数时必须都为0，由此可得$\begin{cases}x - y + 5 = 0 \\ x + y - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - 1 \\ y = 4\end{cases}$，$\therefore\sqrt{8 - 2xy}=\sqrt{8 - 2\times(-1)\times4}=\sqrt{16}=4$。

17 已知$a^{2}-4a + 1 = 0$，求代数式$\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}-3}$的值.

答案： 解：$\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}-3}=\sqrt{a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}-3}=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-5}$，由$a^{2}-4a + 1 = 0$得$a^{2}+1 = 4a$，$\therefore\frac{a^{2}+1}{a}=4$，$\therefore a+\frac{1}{a}=4$，$\therefore(a+\frac{1}{a})^{2}=16$，即$a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=16$，$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=14$。$\therefore$原式$=\sqrt{14 - 5}=\sqrt{9}=3$。

18已知实数$x$，$y$，$a$满足$\sqrt{x + y - 8}+\sqrt{8 - x - y}=\sqrt{3x - y - a}+\sqrt{x - 2y + a + 3}$，试问：长度分别为$x$，$y$，$a$的三条线段能否围成一个三角形？

答案： 解：由题意，得$\begin{cases}x + y - 8\geq0 \\ 8 - x - y\geq0\end{cases}$，$\therefore x + y = 8$。$\therefore\sqrt{3x - y - a}+\sqrt{x - 2y + a + 3}=0$。$\therefore\begin{cases}3x - y - a = 0 \\ x - 2y + a + 3 = 0 \\ x + y = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3 \\ y = 5 \\ a = 4\end{cases}$。$\because3 + 4＞5$，$\therefore$长度分别为$x$，$y$，$a$的三条线段能围成一个三角形。

19 (探究题)观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}=1+\frac{1}{1\times2}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}=1+\frac{1}{2\times3}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}=1+\frac{1}{3\times4}$；
……
请用你所发现的规律计算：
$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{9^{2}}+\frac{1}{10^{2}}}$，其结果为______.

答案： $\frac{99}{10}$ 解析：规律是$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=1+\frac{1}{n(n + 1)}$。原式$=1+\frac{1}{1\times2}+1+\frac{1}{2\times3}+1+\frac{1}{3\times4}+\cdots+1+\frac{1}{9\times10}=9+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=9 + 1-\frac{1}{10}=\frac{99}{10}$。