《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

1 (2022·青岛)计算$(\sqrt{27}-\sqrt{12})\times\sqrt{\frac{1}{3}}$的结果是（ ）
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.1
C.$\sqrt{5}$
D.3

答案： B 解析：$(\sqrt{27}-\sqrt{12})\times\sqrt{\frac{1}{3}}$ $=\sqrt{27\times\frac{1}{3}}-\sqrt{12\times\frac{1}{3}}$ $=\sqrt{9}-\sqrt{4}$ $=3 - 2$ $=1$ 故选B.

2 计算$(\sqrt{12}-\sqrt{18})\div\sqrt{6}$得（ ）
A.$\sqrt{2}-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{2}-6\sqrt{3}$
D.-1

答案： A 解析：$(\sqrt{12}-\sqrt{18})\div\sqrt{6}=\sqrt{12}\div\sqrt{6}-\sqrt{18}\div\sqrt{6}$ $=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

3 计算$(\sqrt{6}+\sqrt{8})^2$的结果为（ ）
A.$14+\sqrt{48}$
B.$14+2\sqrt{48}$
C.$48+8\sqrt{3}$
D.$14+8\sqrt{3}$

答案： D 解析：$(\sqrt{6}+\sqrt{8})^2=(\sqrt{6})^2+2\times\sqrt{6}\times\sqrt{8}+(\sqrt{8})^2$ $=6 + 2\sqrt{48}+8=14 + 8\sqrt{3}$

4 计算：$(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2})=$_______.

答案： $\sqrt{2}$ 解析：$(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2 + 2-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

5 计算：$(\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2=$_______.

答案： $18 - 12\sqrt{2}$ 解析：$(\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2=(\sqrt{6})^2-4\sqrt{18}+(2\sqrt{3})^2$ $=6 - 12\sqrt{2}+12=18 - 12\sqrt{2}$

6 已知$a = 2+\sqrt{3},b = 2-\sqrt{3}$，则多项式$a^2b+ab^2$的值为_______.

答案： 4 解析：$a^2b+ab^2=ab(a + b)$。又$ab=(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4 - 3=1$，$a + b=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$ $\therefore$原式$=1\times4=4$

7 (易错题)计算：$\sqrt{2}\div(\sqrt{3}-\sqrt{2})=$_______.

答案： $\sqrt{6}+2$ 解析：$\sqrt{2}\div(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ $=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ $=\frac{\sqrt{6}+2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{6}+2}{3 - 2}=\sqrt{6}+2$ 易错警示：除法没有分配律，即$\sqrt{2}\div(\sqrt{3}-\sqrt{2})\neq\sqrt{2}\div\sqrt{3}-\sqrt{2}\div\sqrt{2}$，但$(\sqrt{3}-\sqrt{2})\div\sqrt{2}=\sqrt{3}\div\sqrt{2}-\sqrt{2}\div\sqrt{2}$

8 已知$a + b = 7,ab = 9$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}=$_______.

答案： $\sqrt{13}$ 解析：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b=(a + b)+2\sqrt{ab}=7+2\times3=7 + 6=13$ 又$\sqrt{a}＞0,\sqrt{b}＞0,\therefore\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{13}$

9 计算：(1)$2\sqrt{6}\times\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}\div\sqrt{\frac{1}{18}}$；
(2)$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)^2$；
(3)$(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$；
(4)$\sqrt{\frac{1}{5}}\times[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2]$.

答案： 解：（1）原式$=2\sqrt{6\times\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}\div\frac{1}{18}}=2\sqrt{3}+\sqrt{\frac{3}{2}\times18}=2\sqrt{3}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$； （2）原式$=7^2-(4\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1=49 - 48+3-2\sqrt{3}+1=5 - 2\sqrt{3}$； （3）原式$=(\sqrt{2})^2+2\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{6}}{2}+(\frac{\sqrt{6}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$ $=2+\sqrt{12}+\frac{6}{4}+\frac{2}{4}=4 + 2\sqrt{3}$； （4）原式$=\sqrt{\frac{1}{5}}\times[\frac{(\sqrt{5})^2+2\sqrt{5}+1}{4}-\frac{(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1}{4}]=\sqrt{\frac{1}{5}}\times(\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4}-\frac{6 - 2\sqrt{5}}{4})$ $=\sqrt{\frac{1}{5}}\times\frac{6 + 2\sqrt{5}-6 + 2\sqrt{5}}{4}=\sqrt{\frac{1}{5}}\times\sqrt{5}=1$

10 下列各组数中互为倒数的一组是（ ）
A.$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$
B.$2+\sqrt{3}$与$2-\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$与$3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

答案： B 解析：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4 - 3=1$ $\therefore2+\sqrt{3}$与$2-\sqrt{3}$互为倒数。 名师点睛：乘积为1的两个数互为倒数。

11 (易错题)当$a＞0,b＞0$时，$a - b$可以表示为（ ）
A.$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$
B.$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$
C.$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
D.$\frac{a - b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

答案： C