《2025年1加1轻巧夺冠优化训练八年级数学下册人教版》

8 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD和等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当$\frac{AC}{AB}=$______时，四边形ADFE为平行四边形.

答案： √3/2 解析：设AC = √3x，AB = 2x，
∴AD = AC = √3x. 在Rt△ABC中，
∵BC = √(AB² - AC²) = √((2x)² - (√3x)²) = √(4x² - 3x²) = √x² = x，
∴BC = 1/2 AB，
∴∠BAC = 30°.
∵△ACD为等边三角形，
∴∠DAC = 60°.
∴∠DAF = ∠EFA = 90°，
∴AD//EF. 在Rt△AEF中，AE = 2x，AF = 1/2 AB = x，
∴EF = AD = √3x，
∴当AC/AB = √3/2时，四边形ADFE为平行四边形.

9 (2022·大庆)如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB=DF，AC=DE，EB=CF. 连接AE，CD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AE=AC，求证：AB=DB.

答案： 证明：
(1)
∵BE = CF，
∴BE + EC = EC + CF，
∴BC = EF，在△ABC和△DFE中，
∵{AB = DF, AC = DE, BC = FE}，
∴△ABC≌△DFE(SSS)，
∴∠ABC = ∠DFE，
∴AB//DF， 又
∵AB = DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)由
(1)知，△ABC≌△DFE，
∴∠ACB = ∠DEF，AC = DE，
∵AE = AC，
∴∠AEC = ∠ACE = ∠DEF，AE = DE，
∴∠AEB = ∠DEB， 在△AEB和△DEB中，
∵{EB = EB, ∠AEB = ∠DEB, AE = DE}，
∴△AEB≌△DEB(SAS)，
∴AB = DB.

10 如图，D、E为等边△ABC的边AB、AC上的点且AE=BD，△BEF是以BE为一边的等边三角形. 求证：
(1)△AEB≌△BDC；
(2)四边形BFCD为平行四边形.

答案： 证明：
(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A = ∠DBC，AB = BC. 又AE = BD，
∴△AEB≌△BDC.
(2)
∵△AEB≌△BDC，
∴BE = CD.
∵△BEF为等边三角形，
∴BF = BE，
∴BF = CD.
∵∠ADC = ∠ABC + ∠BCD = 60° + ∠BCD，∠ABF = ∠ABE + ∠EBF = 60° + ∠ABE. 又∠ABE = ∠BCD，
∴∠ADC = ∠ABF，
∴CD//BF.
∴四边形BFCD为平行四边形.

11 (探究题)如图，已知点B为线段AD上一动点(不与端点重合). BC=AD，BC⊥AD，延长BC到点E，使得CE=BD，直线CD与直线AE相交于点P，它们的夹角∠APD是定值吗？请加以说明.

答案： 解：是定值. 作AF⊥AD，AF = CE. 连接FC，FD. 易证四边形AFCE是平行四边形.
∴CF//AE，
∴∠FCD = ∠APD. 易证△ADF≌△BCD，
∴FD = CD，∠ADF = ∠BCD. 又∠BCD + ∠BDC = 90°，
∴∠ADF + ∠BDC = 90°，
∴∠FDC = 90°，
∴∠FCD = 45°，
∴∠APD = ∠FCD = 45°.

12 △ABC是等边三角形，D是直线AB上的一点，∠CDM=60°，DM交直线AC于点M，作BN//CM，交直线DM于点N.
(1)如图，当点D在线段AB上时，线段AM与线段BD，BN之间有何数量关系？并说明理由.
(2)当点D在AB或BA的延长线上时，(1)中的关系是否发生变化？请选取其中一种情况进行证明.

答案： 解：
(1)AM与BD、BC之间的数量关系为AM = BD - BN. 理由：作NE//AB，交CA的延长线于点E. 又BN//CM，
∴四边形AENB为平行四边形，
∴AE = BN，EN = AB.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB = ∠CBA = 60°，AB = BC.
∵∠CDM = 60°，
∴∠CDB + ∠ADM = 120°.
∵∠CAB = 60°，
∴∠AMD + ∠ADM = 120°，
∴∠CDB = ∠NME. 又
∵∠E = ∠MAB = ∠DBC = 60°，EN = AB = BC，
∴△EMN≌△BDC，
∴EM = BD. 又EM = EA + AM = BN + AM，
∴AM = EM - BN = BD - BN.
(2)略.