《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

6. 已知正方体的内切球的体积为$ 4\sqrt{3}\pi $，则该正方体的外接球的表面积为（B）

A.$ 12\pi $
B.$ 36\pi $
C.$ 9\sqrt{3}\pi $
D.$ 12\sqrt{3}\pi $

答案： 6. B

7. 在三棱锥$ P - ABC $中，$ PA = BC = 2\sqrt{13} $，$ AC = BP = \sqrt{41} $，$ CP = AB = \sqrt{61} $，则三棱锥$ P - ABC $外接球的表面积为（A）

A.$ 77\pi $
B.$ 64\pi $
C.$ 108\pi $
D.$ 72\pi $

答案： 7. A

8. （2025·广东广州市真光中学期中）某圆锥的高是底面半径的$ \sqrt{3} $倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为$ 1 $，则该圆锥外接球的表面积为（B）

A.$ 32\pi $
B.$ 16\pi $
C.$ \frac{32}{3}\pi $
D.$ \frac{16}{3}\pi $

答案： 8. B

9. （多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为$ 1 \, m $的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ABD）

A.直径为$ 0.99 \, m $的球
B.所有棱长均为$ 1.4 \, m $的四面体
C.底面直径为$ 0.01 \, m $，高为$ 1.8 \, m $的圆柱
D.底面直径为$ 1.2 \, m $，高为$ 0.01 \, m $的圆柱

答案： 9. ABD

10. 如图，在圆台$ O_1O_2 $中，$ O_1O_2 = \sqrt{5} $，其外接球的球心$ O $在线段$ O_1O_2 $上，上、下底面的半径分别为$ r_1 = 1 $，$ r_2 = \sqrt{3} $，则圆台外接球的表面积为$\frac{69\pi}{5}$。
图示：

答案： $10. \frac{69\pi}{5}$

11. （多选题）（2024·江苏南通期末）已知$ a,b,c $为三条直线，$ \alpha,\beta,\gamma $为三个平面。下列命题属于真命题的是（BCD）

A.若$ a \perp c $，$ b \perp c $，则$ a // b $
B.若$ a // \alpha $，$ a \subset \beta $，$ \alpha \cap \beta = b $，则$ a // b $
C.若$ a \perp \alpha $，$ a \subset \beta $，则$ \alpha \perp \beta $
D.若$ \alpha \perp \gamma $，$ \beta \perp \gamma $，$ \alpha \cap \beta = a $，则$ a \perp \gamma $

答案： 11. BCD

12. （多选题）（2025·黑龙江哈十三中月考）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体$ ABCD - A'B'C'D' $，下面部分可视为正四棱锥$ P - ABCD $，$ O $为正方形$ ABCD $的中心，两部分的高都是该正方形$ ABCD $边长的一半，则下列结论正确的是（BCD）

A.$ A'O \perp AB $
B.$ A'O // $平面$ APD $
C.平面$ AA'P \perp $平面$ BDP $
D.$ CC' $与$ A'P $为相交直线
图示：

答案： 12. BCD

13. 如图，在四棱锥$ P - ABCD $中，底面$ ABCD $为矩形，平面$ PAD \perp $平面$ ABCD $，$ PA \perp PD $，$ PA = PD $，$ E $为$ AD $的中点。
（1）求证：$ PE \perp BC $。
（2）求证：平面$ PAB \perp $平面$ PCD $。
（3）在线段$ PC $上是否存在点$ M $，使得$ DM // $平面$ PEB $？请说明理由。
图示：

答案：
13. 解：
(1) 证明：因为PA = PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD = AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD. 又BC⊂平面ABCD，所以PE⊥BC.
(2) 证明：由
(1)知，PE⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PE⊥CD. 因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD. 又因为AD∩PE = E，AD，PE⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 因为AP⊂平面PAD，所以CD⊥AP. 又因为PA⊥PD，CD∩PD = D，CD，PD⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD. 因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
(3) 存在，当M为PC的中点时，DM//平面PEB. 理由：如图，取PB的中点F，连接DM，FM，EF. 因为M为PC的中点，所以FM//BC，且$FM = \frac{1}{2}BC. $在矩形ABCD中，E为AD的中点，所以ED//BC，且$ED = \frac{1}{2}BC. $所以ED//FM，且ED = FM. 所以四边形EFMD为平行四边形. 所以DM//EF. 又因为EF⊂平面PEB，DM⊄平面PEB，所以DM//平面PEB.