《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

10.如图，在边长为$1$的正方形$ABCD$中，$P$是对角线$AC$上一点，且$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{DP} · \overrightarrow{BP} =$$-\frac{12}{25}$；若$M$为线段$BD$（含端点）上的动点，则$\overrightarrow{MP} · \overrightarrow{MB}$的最小值为$-\frac{1}{8}$.

答案： 10.$-\frac{12}{25}$ 11.$-\frac{1}{8}$

11.已知向量$\boldsymbol{a} = (1, 3)$，$\boldsymbol{b} = (-3, k)$.
（1）若$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$，求$\vert \boldsymbol{b} \vert$的值；
（2）若$\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b})$，求实数$k$的值；
（3）若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是钝角，求实数$k$的取值范围.

答案： 11. 解：
(1)因为向量$\boldsymbol{a}=(1,3)$,$\boldsymbol{b}=(-3,k)$,且$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$,
所以$1 × k - 3 × (-3)=0$,解得$k = - 9$.所以$\boldsymbol{b}=(-3,-9)$.所以$\vert \boldsymbol{b} \vert =\sqrt{(-3)^{2}+(-9)^{2}}=3\sqrt{10}$.
(2)因为$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(-5,3 + 2k)$,且$\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})$,所以$1×(-5)+3(3 + 2k)=0$,解得$k=-\frac{2}{3}$.
(3)因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是钝角,所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}＜0$且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线.所以$1×(-3)+3k＜0$且$k\neq - 9$.解得$k＜1$且$k\neq - 9$.所以实数$k$的取值范围是$(-\infty,-9)\cup(-9,1)$.

12.如图，在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{CP} = \frac{4}{7}\overrightarrow{CM}$，设$\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{b}$.
（1）用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示向量$\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{BP}$；
（2）若$CA = 1$，$CB = 2$，$\angle ACB = \frac{\pi}{3}$，求$\vert \overrightarrow{CM} \vert$的值；
（3）若$CM \perp AB$，$BP \perp AC$，求$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$的值.

答案： 12. 解：
(1)因为$\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AM}$,所以$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}=\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}$.
因为$\overrightarrow{CP}=\frac{4}{7}\overrightarrow{CM}$,所以$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CB}=\frac{4}{7}\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CB}=\frac{4}{7}(\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}=\frac{3}{7}\boldsymbol{a}-\frac{6}{7}\boldsymbol{b}$.
(2)由题意可知,$\vert \boldsymbol{a} \vert =1$,$\vert \boldsymbol{b} \vert =2$,$\angle ACB=\frac{\pi}{3}$,则$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=\vert \boldsymbol{a} \vert \vert \boldsymbol{b} \vert \cos\angle ACB = 1$,所以$\vert \overrightarrow{CM} \vert^{2}=(\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b})^{2}=\frac{9}{16}\boldsymbol{a}^{2}+\frac{3}{8}\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}+\frac{1}{16}\boldsymbol{b}^{2}=\frac{19}{16}$,即$\vert \overrightarrow{CM} \vert =\frac{\sqrt{19}}{4}$.
(3)因为$\overrightarrow{CM} \perp \overrightarrow{AB}$,所以$\overrightarrow{CM} · \overrightarrow{AB}=(\frac{3}{4}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=-\frac{3}{4}\boldsymbol{a}^{2}+\frac{1}{2}\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}^{2}=0$.整理,得$-3\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=0$①.因为$\overrightarrow{BP} \perp \overrightarrow{AC}$,所以$\overrightarrow{BP} · \overrightarrow{CA}=(\frac{3}{7}\boldsymbol{a}-\frac{6}{7}\boldsymbol{b}) · \boldsymbol{a}=\frac{3}{7}\boldsymbol{a}^{2}-\frac{6}{7}\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=0$.整理,得$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}^{2}$②.将②代入①,得$-3\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}=0$,即$\boldsymbol{b}^{2}=2\boldsymbol{a}^{2}$,所以$\vert \boldsymbol{b} \vert =\sqrt{2}\vert \boldsymbol{a} \vert$.所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{\vert \boldsymbol{a} \vert \vert \boldsymbol{b} \vert}=\frac{\frac{1}{2}\boldsymbol{a}^{2}}{\sqrt{2}\boldsymbol{a}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.