《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1.（多选题）在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，$E$是$CD$的中点，则下列结论正确的是 (CD)

A.$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
C.$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
D.$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}-3\overrightarrow{CD}$

答案： 1. CD

2.（2025·山东威海一中期中）如图，在边长为$1$的菱形$ABCD$中，$\angle A=\frac{\pi}{3}$，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$.
（1）用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示$\overrightarrow{BE}$；
（2）求$\vert\overrightarrow{BE}\vert$的值；
（3）若$\overrightarrow{BF}=t\overrightarrow{BC}$，$AF\perp BE$，求实数$t$的值.

答案： 2. 解:
(1)因为$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，所以$\overrightarrow{EC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$。所以$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = b - \frac{2}{3}a$。
(2)由题意，得$\vert a\vert = \vert b\vert = 1$，$a· b = 1×1×\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，则$\vert\overrightarrow{BE}\vert^2 = (b - \frac{2}{3}a)^2 = b^2 - \frac{4}{3}a· b + \frac{4}{9}a^2 = \frac{7}{9}$，所以$\vert\overrightarrow{BE}\vert = \frac{\sqrt{7}}{3}$。
(3)因为$\overrightarrow{BF} = t\overrightarrow{BC} = tb$，所以$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = a + tb$。因为$AF\perp BE$，所以$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{BE} = 0$。所以$(a + tb)·(-\frac{2}{3}a + b) = 0$，即$-\frac{2}{3}a^2 - \frac{2}{3}ta· b + a· b + tb^2 = 0$，即$-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}t + \frac{1}{2} + t = 0$，解得$t = \frac{1}{4}$。

3.平面内顺次连接点$A(1,1)$，$B(2,0)$，$C(0,-2)$，$D(-2,0)$所组成的图形是 (B)

A.平行四边形
B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对

答案： 3. B

4.如图，若正八边形$ABCDEFGH$的边长为$2\sqrt{2}$，$P$是$GF$的中点，则$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{AB}$等于 (A)

A.$-2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$

答案： 4. A

5.（2025·山西太原五中月考）在菱形$ABCD$中，$AC=2$，$BD=4$，$E$为边$AD$上一点，则$\vert\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}\vert$的最小值为 (A)

A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{37}$
C.$\frac{64}{13}$
D.$13$

答案： 5. A

6.在$\triangle ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，$\angle BAC=60^{\circ}$，点$M$为$\triangle ABC$的外心. 若$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，$\lambda$，$\mu\in\mathbf{R}$，则$4\lambda+3\mu$等于 (C)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\frac{8}{3}$

答案： 6. C

7.（2025·山东青岛二中期中）如图，在直角梯形$ABCD$中，$AB// CD$，$\angle DAB=90^{\circ}$，$AB=2AD=2CD=2$，$F$是边$BC$上的中点，$E$是边$CD$上一个动点，则$\overrightarrow{EA}·\overrightarrow{EF}$的取值范围是 (A)


A.$\left[-\frac{1}{16},\frac{1}{2}\right]$
B.$\left[0,\frac{1}{2}\right]$
C.$\left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]$
D.$\left[-\frac{1}{16},4\right]$

答案： 7. A