《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1.（2025·江苏徐州中学月考）设$\boldsymbol{a} = (1, -2)$，$\boldsymbol{b} = (-3, 4)$，$\boldsymbol{c} = (3, 2)$，则$\frac{1}{3}(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) · \boldsymbol{c}$等于
（B）

A.$(-15, 12)$
B.$-1$
C.$-3$
D.$1$

答案： 1.B

2.（2025·山东泰安期中）下列向量的运算结果不正确的是 （C）

A.$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$
C.$\overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) = \overrightarrow{BC}$
D.$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{0}$

答案： 2.C

3.（2025·河南洛阳期中）在$\triangle ABC$中，$D$是边$BC$的中点，$E$是$AD$的中点. 若$\overrightarrow{EC} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$，则$x - y$等于 （B）

A.$1$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 3.B

4.（2024·安徽安庆一中月考）已知$A$，$B$两点在圆$C$上运动，且$AB = \sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}$的值为
（B）

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.与点$A$，$B$的具体位置有关

答案： 4.B

5.（2024·新课标Ⅱ卷）已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\vert \boldsymbol{a} \vert = 1$，$\vert \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} \vert = 2$，且$(\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a}) \perp \boldsymbol{b}$，则$\vert \boldsymbol{b} \vert$等于 （B）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案： 5.B

6.（2025·安徽合肥一中月考）已知$\vert \boldsymbol{a} \vert = 5$，$\boldsymbol{b} = (-1, 2)$，$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$2\boldsymbol{b}$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$夹角的余弦值为 （A）

A.$\frac{7\sqrt{2}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{10}$
C.$-\frac{7\sqrt{2}}{10}$
D.$-\frac{\sqrt{2}}{10}$

答案： 6.A

7.（2025·新课标Ⅰ卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中被称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系. 某帆船船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s），则真风为 （A）
|风力等级|名 称|风速大小/(m/s)|
| ---- | ---- | ---- |
|2|轻风|1.1~3.3|
|3|微风|3.4~5.4|
|4|和风|5.5~7.9|
|5|劲风|8.0~10.1|

A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风

答案： 7.A

8.（多选题）（2024·吉林四平一中月考）在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$P$为$\triangle ABC$内的一点，设$\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$，则下列说法正确的是 （ACD）

A.若点$P$为$\triangle ABC$的重心，则$2x + y = 1$
B.若点$P$为$\triangle ABC$的外心，则$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{BC} = 18$
C.若点$P$为$\triangle ABC$的垂心，则$x + y = \frac{7}{16}$
D.若点$P$为$\triangle ABC$的内心，则$x + y = \frac{5}{8}$

答案： 8.ACD

9.设$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$是不共线的两个向量，$\boldsymbol{e}_1 - 4\boldsymbol{e}_2$与$k\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$共线，则实数$k$的值为$-\frac{1}{4}$.

答案： 9.$-\frac{1}{4}$