《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

10. 某圆柱的底面直径和高都等于$4$，则该圆柱的内切球的表面积为（B）

A.$64\pi$
B.$16\pi$
C.$\frac{32}{3}\pi$
D.$\frac{128}{3}\pi$

答案： 10.B

11. （2025·山东临沂期中）已知三棱锥$P - ABC$的体积为$3\mathrm{m}^3$，侧面积为$2\mathrm{m}^2$，底面积为$1\mathrm{m}^2$，则这个三棱锥内切球的体积为（A）

A.$36\pi\mathrm{m}^3$
B.$12\pi\mathrm{m}^3$
C.$108\pi\mathrm{m}^3$
D.$\frac{4}{3}\pi\mathrm{m}^3$

答案： 11.A

12. 如图，圆锥的底面半径为$r$，高为$3r$，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为$1$，则$r$等于（D）


A.$\frac{1 + \sqrt{5}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5} - 1}{3}$
C.$\frac{1 + \sqrt{10}}{2}$
D.$\frac{1 + \sqrt{10}}{3}$

答案： 12.D

13. （2024·山东聊城期末）某圆台的上、下底面半径分别为$r$，$R$，且$R = 3r$，体积为$\frac{26\sqrt{3}\pi}{3}$。若一个球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（B）

A.$2\sqrt{3}\pi$
B.$4\sqrt{3}\pi$
C.$6\sqrt{3}\pi$
D.$12\sqrt{3}\pi$

答案： 13.B

14. （2025·新课标Ⅱ卷）一个底面半径为$4\mathrm{cm}$，高为$9\mathrm{cm}$的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为2.5$\mathrm{cm}$。

答案： 14.2.5

15. 在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AB = 4$，$O$为$AC_1$的中点。若该正方体的棱与球$O$的球面有公共点，则球$O$的半径的取值范围是$[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$。

答案： 15.$[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$

16. 一个正三棱柱的底面边长为$4\sqrt{3}$，高为$6$，在此三棱柱内有一个球，当此球的体积最大时，此球的表面积与该正三棱柱的外接球的表面积之比为$4:25$。

答案： 16.$4:25$

17. （2024·山东潍坊期末）已知一个圆锥的底面半径为$3$，侧面积为$15\pi$。求：
（1）该圆锥的体积；
（2）该圆锥内切球的表面积。

答案： 17. 解：
(1)因为圆锥的底面半径$r = 3$，侧面积$S_{ 侧}=15\pi$，$S_{ 侧}=\pi rl$，所以圆锥的母线长$l=\frac{S_{ 侧}}{\pi r}=5$，则圆锥的高$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}} = 4$.所以该圆锥的体积为$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=12\pi$.
(2)设圆锥的内切球半径为$R$.由题意，得圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长为$2r = 6$，腰长为$l = 5$，底边上的高为$h = 4$，其内切圆的半径等于圆锥内切球的半径.所以$\frac{1}{2}×(5 + 5+6)R=\frac{1}{2}×6×4$，解得$R=\frac{3}{2}$.所以该圆锥内切球的表面积为$4\pi R^{2}=9\pi$.