《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

12. （2025·江苏无锡市辅仁高级中学期中）已知虚数 $z = -1 + mi$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - nx + 4 = 0$ 的一个根（$i$ 是虚数单位，$m ＞ 0$，$n \in R$）。
（1）求 $m + n$ 的值；
（2）求证：$\frac{\overline{z}}{2} = (\frac{z}{2})^2$，并求出 $(\frac{z}{2})^{2025}$ 的值。

答案： 12.解：
(1)因为虚数$z = - 1 + mi$是关于$x$的方程$x^{2}-nx + 4 = 0$的一个根，$m＞0,n\in\mathbf{R}$，所以$(-1 + mi)^{2}-n(-1 + mi)+4 = 0$，整理，得$(5 - m^{2}+n)-(2m + mn)i = 0$.所以$\begin{cases}5 - m^{2}+n=0, \\2m + mn=0,\end{cases}$结合$m＞0,n\in\mathbf{R}$，解得$\begin{cases}m=\sqrt{3}, \\n=-2.\end{cases}$所以$m + n=-2+\sqrt{3}$.
(2)证明：由
(1)可知，$z=-1+\sqrt{3}i$，$\frac{z}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，则$\frac{z}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$(\frac{z}{2})^{2}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，所以$\frac{z}{2}=(\frac{z}{2})^{2}$.因为$(\frac{z}{2})^{2}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}i^{2}=1$，所以$(\frac{z}{2})^{2025}=[(\frac{z}{2})^{2}]^{675}=1$.

13. （2024·福建泉州一中期中）已知复数 $z_1 = 2 + ai$（$a \in R$），$z_2 = 3 - 4i$。
（1）若 $z_1 + z_2$ 是实数，求 $z_1z_2$ 的值；
（2）若 $\frac{z_1}{z_2}$ 是纯虚数，求 $z_1$ 的虚部以及 $|z_1|$。

答案： 13.解：
(1)因为$z_{1}+z_{2}=(2 + ai)+(3 - 4i)=5+(a - 4)i$是实数，所以$a = 4$.所以$z_{1}=2 + 4i$.所以$z_{1}z_{2}=(2 + 4i)·(3 - 4i)=22 + 4i$.
(2)因为$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 + ai}{3 - 4i}=\frac{(2 + ai)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)}=\frac{6 - 4a+(3a + 8)i}{25}=\frac{6 - 4a}{25}+\frac{3a + 8}{25}i$是纯虚数，所以$\begin{cases}\frac{6 - 4a}{25}=0, \frac{3a + 8}{25}\neq0,\end{cases}$解得$a=\frac{3}{2}$.所以$z_{1}=2+\frac{3}{2}i$.所以$z_{1}$的虚部为$\frac{3}{2}$，$\vert z_{1}\vert=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}$.

14. 核心素养 逻辑推理 若虚数 $z$ 使得 $z^2 + z$ 是实数，则 $z$ 满足（A）

A.实部是 $-\frac{1}{2}$
B.实部是 $\frac{1}{2}$
C.虚部是 $-\frac{1}{2}$
D.虚部是 $\frac{1}{2}$

答案： 14.A

15. 核心素养 直观想象 若复数 $z$ 满足 $|z - i| \leq \sqrt{2}$，则 $z$ 在复平面内对应的点的集合构成图形的面积为$2\pi$。

答案： 15.$2\pi$

16. 探究开放题 有下列三个式子：① $\frac{2 + i}{1 - 2i}$；② $\frac{-4 + 3i}{3 + 4i}$；③ $\frac{-1 - i}{-1 + i}$。某同学在解题中发现，上述三个式子的值都等于同一个常数。
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论。

答案： 16.解：
(1)若选择①：$\frac{2 + i}{1 - 2i}=\frac{(2 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}=$
$\frac{2 + 4i + i - 2}{5}=i$.若选择②：$\frac{-4 + 3i}{3 + 4i}=\frac{(-4 + 3i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)}=$
$\frac{-12 + 16i + 9i - 12i^{2}}{25}=i$.若选择③：$\frac{-1 - i}{-1 + i}=\frac{(-1 - i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)}=\frac{1 + 2i - 1}{2}=i$.
(2)根据三个式子的结构特征及
(1)的计算结果，可以得到$\frac{a + bi}{b - ai}=i(a,b\in\mathbf{R}且a,b$不同时为$0)$.证明：$\frac{a + bi}{b - ai}=\frac{(a + bi)(b + ai)}{(b - ai)(b + ai)}=$
$\frac{ab + a^{2}i + b^{2}i - ab}{a^{2}+b^{2}}=i$.