《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

10. (多选题)如图，在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，E，F分别为棱$A_{1}B_{1}$和$A_{1}C_{1}$上的点(不包括端点)，且$BE\cap CF = P$，则下列结论正确的是（ABD）


A.B，C，E，F四点共面
B.$P\in$平面$ABB_{1}A_{1}$
C.平面AEF与平面$BB_{1}C_{1}C$不相交
D.P，$A_{1}$，A三点共线

答案： 10. ABD

11. (2025·陕西省西安中学月考)每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是不共线的三点确定一个平面.

答案： 11. 不共线的三点确定一个平面

12. 若直线l与平面α相交于点O，$A$，$B\in l$，$C$，$D\in \alpha$，且$AC// BD$，则O，C，D三点的位置关系是共线.

答案： 12. 共线

13. 已知在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E，F分别为$D_{1}C_{1}$，$C_{1}B_{1}$的中点，$AC\cap BD = P$，$A_{1}C_{1}\cap EF = Q$.
(1) 求证：D，B，F，E四点共面；
(2) 若$A_{1}C$与平面DBFE交于点R，求证：P，Q，R三点共线；
(3) 求证：DE，BF，$CC_{1}$三线交于一点.

答案：
13. 证明:
(1) 如图,连接 $B_1D_1$.因为易知 $EF$ 是 $\triangle D_1B_1C_1$ 的中位线,所以 $EF // B_1D_1$.易知在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$B_1D_1 // BD$,所以 $EF // BD$.所以 $EF$,$BD$ 确定一个平面,即 $D$,$B$,$F$,$E$ 四点共面.
(2) 在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,设平面 $AA_1C_1C$ 为 $\alpha$,平面 $BDEF$ 为 $\beta$.因为 $Q \in A_1C_1$,$A_1C_1 \subset \alpha$,所以 $Q \in \alpha$.又 $Q \in EF$,$EF \subset \beta$,所以 $Q \in \beta$.所以 $Q$ 是 $\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点.同理,可得 $P$ 也是 $\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点.所以 $\alpha \cap \beta = PQ$.又 $A_1C_1 \cap \beta = R$,$A_1C_1 \subset \alpha$,所以 $R \in PQ$.所以 $P$,$Q$,$R$ 三点共线.
(3) 因为 $EF // BD$,且 $EF ＜ BD$,所以 $DE$ 与 $BF$ 相交.设交点为 $M$.由 $M \in DE$,$DE \subset$ 平面 $D_1DCC_1$,得 $M \in$ 平面 $D_1DCC_1$,同理,可得 $M \in$ 平面 $B_1BCC_1$.又平面 $D_1DCC_1 \cap$ 平面 $B_1BCC_1 = CC_1$,所以 $M \in CC_1$.所以 $DE$,$BF$,$CC_1$ 三线交于一点 $M$.
　　　　　　

14. 空间五点A，B，C，D，E可以确定多少个平面？

答案：
14. 解：若这五个点共线,则这五个点不能确定平面,即可以确定 $0$ 个平面;若这五个点中存在三点不共线,但所有点共面,则可以确定 $1$ 个平面;如图①,若这五个点中有四点共面,但无三点共线,则此时可以确定 $7$ 个平面;如图②,若这五个点中有四个点共面,且其中有三点共线,则此时可以确定 $5$ 个平面;若这五个点中任意三点不共线,任意四点不共面,则可以确定 $10$ 个平面.综上所述,空间五点 $A$,$B$,$C$,$D$,$E$ 可以确定 $0$ 或 $1$ 或 $5$ 或 $7$ 或 $10$ 个平面.