《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

数系的扩充和复数的概念
数系的扩充 - 虚数单位（满足 $i^2 = -1$）
复数的概念
复数 $z = a + bi$（$a,b \in R$），实部为 $a$，虚部为 $b$
复数的分类
实数：$b = 0$
虚数：$b \neq 0$（当 $a = 0$ 时为纯虚数）
复数相等：$a + bi = c + di$（$a,b,c,d \in R$）$\Leftrightarrow a = c$，且b = d
共轭复数：$z = a + bi$ 与 $\overline{z} = a - bi$ 互为共轭复数
复数的几何意义
复数 $z = a + bi$
复平面内的点 $Z(a,b)$ $\longleftrightarrow$ 平面向量 $\overrightarrow{OZ}$
复数的四则运算
复数的加、减运算及其几何意义
加法法则：$(a + bi) + (c + di) =$(a + c) + (b + d)i几何意义：复数的加法可以按照 $(a + c) + (b + d)i$ 向量的加法进行
减法法则：$(a + bi) - (c + di) =$(a - c) + (b - d)i几何意义：复数的减法可以按照 $(a - c) + (b - d)i$ 向量的减法进行
复数的乘、除运算
乘法法则：$(a + bi)(c + di) =$(ac - bd)+(ad + bc)i
除法法则：$(a + bi) ÷ (c + di) = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$（$c + di \neq 0$）
$i$ 的乘方具有周期性
$i^{4n} = 1$，$i^{4n + 1} = i$，$i^{4n + 2} = -1$，$i^{4n + 3} = -i$（$n \in N^*$）
$i^{4n} + i^{4n + 1} + i^{4n + 2} + i^{4n + 3} =$0（$n \in N^*$）
复数 $z$ 的方程在复平面上表示的图形
复数与方程
在复数范围内，实系数一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的求根公式为：
① 当 $\Delta \geq 0$ 时，$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；
② 当 $\Delta ＜ 0$ 时，$x = \frac{-b \pm \sqrt{-(b^2 - 4ac)}i}{2a}$。
复数的三角表示
复数乘、除运算的三角表示
乘法法则：模数相乘，辐角相加
除法法则：模数相除，辐角相减

答案： 第七章总结提升
$b = d \quad \sqrt{a^{2}+b^{2}} \quad (ac - bd)+(ad + bc)i \quad 0$

1. 已知 $z$ 为复数，$z + 3$ 为纯虚数，$z - 2i$ 为实数，则 $|z|$ 等于（A）

A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2$
D.$3$

答案： 1.A

2. （2025·河南新乡一中月考）复数 $z$ 满足 $2z + 3\overline{z} = 5 - 2i$，则 $\overline{z}$ 的虚部为（A）

A.$-2$
B.$2$
C.$2i$
D.$-2i$

答案： 2.A

3. （多选题）已知 $z$ 是复数，则下列命题属于真命题的是（ABD）

A.若 $z^2 \geq 0$，则 $z$ 是实数
B.若 $z^2 ＜ 0$，则 $z$ 是虚数
C.若 $z$ 是虚数，则 $z^2 \geq 0$
D.若 $z$ 是纯虚数，则 $z^2 ＜ 0$

答案： 3.ABD