《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

12. 在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ M $ 满足 $ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \boldsymbol{0} $。若存在实数 $ m $，使得 $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = m\overrightarrow{AM} $ 成立，则 $ m = $3。

答案： 12. 3

13. 设 $ O $ 为 $ \triangle ABC $ 内任一点，且满足 $ \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{0} $。
(1) 若 $ D,E $ 分别是边 $ BC,CA $ 的中点，求证：$ D,E,O $ 三点共线；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle AOC $ 的面积的比值。

答案：
13. 解：
(1) 证明：如图，因为 D，E 分别是边 BC，CA 的中点，所以$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$。因为$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=2(\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OD})=0$，即$2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=0$，所以$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OE}$共线。又因为$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OE}$有公共点 O，所以 D，E，O 三点共线。
(2) 由
(1)知，$2|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{OE}|$，所以$S_{\triangle AOC}=2S_{\triangle COE}=2×\frac{2}{3}S_{\triangle CDE}=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$。所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AOC}}=3$。

14. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{DB} $，$ P $ 为 $ CD $ 上一点，且满足 $ \overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}(x \in \mathbf{R}) $，则 $ x = $$\frac{1}{5}$。

答案： 14. $\frac{1}{5}$

15. 教材改编 P40T3 如图，设点 $ G $ 为 $ \triangle ABC $ 的重心，$ PQ $ 过点 $ G $ 且与 $ AB,AC $(或其延长线)分别交于点 $ P,Q $。若 $ \overrightarrow{AP} = m\overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AQ} = n\overrightarrow{AC} $，则 $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} $ 的值是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

答案： 15. 解：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值为定值。连接 AG。因为点 G 为$\triangle ABC$的重心，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。又因为$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3m}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{3n}\overrightarrow{AQ}$。由题意可知，P，Q，G 三点共线，所以$\frac{1}{3m}+\frac{1}{3n}=1$，即$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$，为定值。