《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

8. 一艘渔船航行到$A$处时看灯塔$B$在其南偏东$30^{\circ}$方向，距离为$6$海里，灯塔$C$在其北偏东$60^{\circ}$方向，距离为$6\sqrt{3}$海里.该渔船由$A$处沿正东方向继续航行到$D$处时再看灯塔$B$在其南偏西$30^{\circ}$方向，则此时灯塔$C$位于渔船的（D）

A.北偏东$60^{\circ}$方向
B.北偏西$30^{\circ}$方向
C.北偏西$60^{\circ}$方向
D.北偏东$30^{\circ}$方向

答案： 8. D

9. （2025·福建龙岩期中）如图，为测量$CD$的高度，选取与点$C$在同一水平面内的两个测量点$A$，$B$.现测得$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 105^{\circ}$，$AB = 2$千米，在点$B$处测得点$D$的仰角为$60^{\circ}$，则$CD$的高为$2\sqrt{6}$千米.

答案： 9. $2\sqrt{6}$

10. 在$\triangle ABC$中，$\sin^2 A \leq \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B\sin C$，则$A$的取值范围是（C）

A.$\left(0,\frac{\pi}{6}\right]$
B.$\left[\frac{\pi}{6},\pi\right)$
C.$\left(0,\frac{\pi}{3}\right]$
D.$\left[\frac{\pi}{3},\pi\right)$

答案： 10. C

11. （2025·江苏金陵中学月考）在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a = \sqrt{3}$且$2c = 2a\cos B + b$.求：
（1）$A$；
（2）$\triangle ABC$面积的最大值.

答案： 11. 解：
(1) 因为$2c = 2a\cos B + b$，所以由正弦定理，可得$2\sin C = 2\sin A\cos B+\sin B$. 所以$2\sin(A + B)=2\sin A\cos B+\sin B$，则$2\sin A\cos B + 2\sin B\cos A = 2\sin A\cos B+\sin B$，即$2\sin B\cos A = \sin B$. 易知$\sin B\neq0$，所以$\cos A=\frac{1}{2}$. 因为$0\lt A\lt\pi$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.
(2) 由余弦定理，可得$3 = a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc\geqslant2bc - bc = bc$. 所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{4}$，当且仅当$b = c=\sqrt{3}$，即$\triangle ABC$为等边三角形时，等号成立. 所以$\triangle ABC$面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

12. （2025·四川眉山期中）在锐角三角形$ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$2a\cos A - b\cos C = c\cos B$.
（1）求$A$；
（2）若$a = 2$，求$\triangle ABC$周长的取值范围.

答案： 12. 解：
(1) 由$2a\cos A - b\cos C = c\cos B$，得$2\sin A\cos A - \sin B\cos C = \cos B\sin C$，所以$2\sin A\cos A = \sin B\cos C+\cos B\sin C = \sin(B + C)=\sin A$. 因为$A\in(0,\pi)$，所以$\sin A\gt0$. 所以$\cos A=\frac{1}{2}$. 所以$A=\frac{\pi}{3}$.
(2) 由正弦定理，可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，所以$b=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin B$，$c=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin C$. 所以$\triangle ABC$的周长$=a + b + c = 2+\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin B+\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin(\frac{2\pi}{3}-B)=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin B+\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin B + 2\cos B + 2 = 2\sqrt{3}\sin B+2\cos B + 2 = 4\sin(B+\frac{\pi}{6})+2$. 因为$0\lt B\lt\frac{\pi}{2}$，
为$\triangle ABC$为锐角三角形，所以$\begin{cases}0\lt B\lt\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6}\lt A + B\lt\pi.\end{cases}B\lt\frac{\pi}{2}$，所以$\frac{\pi}{3}\lt B+\frac{\pi}{6}\lt\frac{2\pi}{3}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}\lt\sin(B+\frac{\pi}{6})\leqslant1$.
所以$a + b + c = 4\sin(B+\frac{\pi}{6})+2\in(2\sqrt{3}+2,6]$，即$\triangle ABC$周长的取值范围是$(2\sqrt{3}+2,6]$.