《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

13. 已知 $ A(2,1) $，$ B(3,2) $，$ D(-1,4) $.
（1）求证：$ AB \perp AD $；
（2）要使四边形 $ ABCD $ 为矩形，求点 $ C $ 的坐标以及矩形 $ ABCD $ 两对角线所夹锐角的余弦值.

答案： 13. 解：
(1) 证明：因为$A(2,1)$,$B(3,2)$,$D(-1,4)$,所以
$\overrightarrow{AB}=(1,1)$,$\overrightarrow{AD}=(-3,3)$。所以$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}=1 × (-3) + 1 × 3 = 0$。所以$\overrightarrow{AB} \bot \overrightarrow{AD}$,即$AB \bot AD$。
(2) 因为$\overrightarrow{AB} \bot \overrightarrow{AD}$,四边形$ABCD$为矩形,所以$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$。设点$C$的坐标
为$(x,y)$,则由$\overrightarrow{AB}=(1,1)$,$\overrightarrow{DC}=(x + 1,y - 4)$,得
$\begin{cases}x + 1 = 1,\\y - 4 = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 0,\\y = 5.\end{cases}$所以点$C$的坐标为$(0,5)$。所以
$\overrightarrow{AC}=(-2,4)$,$\overrightarrow{BD}=(-4,2)$。所以$|\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{5}$,$|\overrightarrow{BD}| = 2\sqrt{5}$,$\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{BD} = 8 + 8 = 16$。设$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$的夹角为$\theta$,则
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$，所以矩形$ABCD$的两对角
线所夹锐角的余弦值为$\frac{4}{5}$。

14. (2025·广东深圳中学期中)若向量 $ \boldsymbol{a}=(x,1) $，$ \boldsymbol{b}=(-4,2) $，且 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角是锐角，则实数 $ x $ 的取值范围是$(-\infty,-2) \cup (-2,\frac{1}{2})$.

答案： 14.$(-\infty,-2) \cup (-2,\frac{1}{2})$

15. 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(1,2) $，$ \boldsymbol{b}=(\cos \alpha,\sin \alpha) $，设 $ \boldsymbol{m}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}(t \in \mathbf{R}) $.
（1）若 $ \alpha = \frac{\pi}{4} $，求当 $ |\boldsymbol{m}| $ 取最小值时的实数 $ t $ 的值.
（2）若 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $，则是否存在实数 $ t $，使得向量 $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{m} $ 的夹角为 $ \frac{\pi}{4} $？若存在，求出实数 $ t $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 15. 解：
(1) 因为$\boldsymbol{a}=(1,2)$,所以$\boldsymbol{a}^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5$。当
$\alpha = \frac{\pi}{4}$时,$\boldsymbol{b}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=1 × \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$,$\boldsymbol{b}^{2} = |\boldsymbol{b}|^{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = 1$。所以$|\boldsymbol{m}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b})^{2}} = \sqrt{\boldsymbol{a}^{2} + 2t\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + t^{2}\boldsymbol{b}^{2}} = \sqrt{t^{2} + 3\sqrt{2}t + 5} = \sqrt{(t + \frac{3\sqrt{2}}{2})^{2} + \frac{1}{2}}$。所以当$t = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$时,$|\boldsymbol{m}|$取得最小值.
(2) 存在. 假设存在满足条件的实数$t$,则$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}||\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。因为$\boldsymbol{a} \bot \boldsymbol{b}$,所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0$。又因为
$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha} = 1$,所以$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})^{2}} = \sqrt{\boldsymbol{a}^{2} - 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}^{2}} = \sqrt{6}$,$|\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b})^{2}} = \sqrt{\boldsymbol{a}^{2} + 2t\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + t^{2}\boldsymbol{b}^{2}} = \sqrt{5 + t^{2}}$,$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^{2} - t\boldsymbol{b}^{2} + (t - 1)\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 5 - t$。所以$\frac{5 - t}{\sqrt{6} × \sqrt{5 + t^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。整理,得
$t^{2} + 5t - 5 = 0$,且$t ＜ 5$,解得$t = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$,所以存在$t = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$满足条件.