《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

11. (2025·福建福州三中期中)在如图①所示的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成如图②所示的圆锥，则该圆锥的高为 $\sqrt{15}$.

答案： 11.$\sqrt{15}$

12. 如图，AB 是直角梯形 ABCD 中与底边垂直的腰. 分别以边 AB，BC，CD，AD 所在的直线为轴旋转，试说明形成的几何体的结构特征.

答案：
12.解:如图①，以边$AB$所在的直线为轴旋转，形成的几何体是圆台。如图②，以边$BC$所在的直线为轴旋转，形成的几何体是一个组合体:下部分为圆柱，上部分为圆锥。如图③，以边$CD$所在的直线为轴旋转，形成的几何体为一个组合体:上部分为圆锥，下部分为圆台挖去一个小圆锥。如图④，以边$AD$所在的直线为轴旋转，形成的几何体是一个组合体:一个圆柱挖去一个圆锥。
　　　

13. 已知圆锥的高为 2，底面半径为 $2\sqrt{2}$，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为 (B)

A.4
B.6
C.$\frac{8\sqrt{2}}{3}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： 13.B

14. 核心素养 直观想象 圆台的上、下底面半径分别为 5，10，母线长 $AB$（点 B 在点 A 的上方）=20，从圆台母线 AB 的中点 M 处拉一条绳子绕圆台侧面转到点 A. 求：
(1)绳子的最短长度；
(2)当绳子最短时，上底面圆周上的点到绳子的最短距离.

答案：
14.解:
(1)如图，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中线段$AM$的长。设$OB = l$，$\angle AOA' = \theta$，则$\theta · l = 2\pi × 5$①，$\theta · (l + 20) = 2\pi × 10$②。联立①②，可得$\theta = \frac{\pi}{2}$，$l = 20$。所以$OA = 20 + 20 = 40$，$OM = 20 + \frac{1}{2} × 20 = 30$。在$\mathrm{Rt}\triangle AOM$中，$AM = \sqrt{OA^{2} + OM^{2}} = 50$，即绳子的最短长度为$50$。
(2)如图，作$OQ \perp AM$于点$Q$，交$\overset{\frown}{BB'}$于点$P$，则$PQ$的长即为所求的最短距离。由题意可知，$OA · OM = AM · OQ$，所以$OQ = \frac{OA · OM}{AM} = 24$。所以$PQ = OQ - OP = 24 - 20 = 4$，即当绳子最短时，上底面圆周上的点到绳子的最短距离为$4$。