《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

13. 已知复数 $ z_1 = \sqrt{3} + i $，$ z_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $.
(1) 求 $ |z_1| $ 及 $ |z_2| $，并比较大小；
(2) 设 $ z \in \mathbf{C} $，其在复平面内对应的点为 $ Z $，则满足条件 $ |z_2| \leq |z| \leq |z_1| $ 的点 $ Z $ 的集合是什么图形？

答案：
13. 解：
(1) 因为$z_1 = \sqrt{3} + i$，$z_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，所以$|z_1| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$，$|z_2| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1$。所以$|z_1| ＞ |z_2|$。
(2) 由$|z_2| \leq |z| \leq |z_1|$及
(1)知，$1 \leq |z| \leq 2$。因为$|z|$的几何意义就是复数$z$对应的点到原点的距离，所以$|z| \geq 1$表示$|z| = 1$所表示的圆外部(包含圆周)所有点组成的集合，$|z| \leq 2$表示$|z| = 2$所表示的圆内部(包含圆周)所有点组成的集合。如图，符合题设条件的点$Z$的集合是以点$O$为圆心，1 和 2 分别为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)。

14. 开放题 有下面两个条件：① $ |z| = \sqrt{7} $；② $ z $ 在复平面内对应的点位于第二象限.请写出一个满足上述两个条件的复数：$ z = $答案不唯一，如$-2 + \sqrt{3}i$.

答案： 14. 答案不唯一，如$-2 + \sqrt{3}i$

15. 设复数 $ z = a^2 + a - 2 + (a^2 - 7a + 6) i $，其中 $ a \in \mathbf{R} $.
(1) 若 $ z $ 是纯虚数，求 $ a $ 的值；
(2) 若 $ z $ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $ a $ 的取值范围.

答案： 15. 解：
(1) 因为$z = a^2 + a - 2 + (a^2 - 7a + 6)i$是纯虚数，所以$\begin{cases}a^2 + a - 2 = 0\\a^2 - 7a + 6 \neq 0\end{cases}$，解得$a = -2$。
(2) 由题意，得$\begin{cases}a^2 + a - 2 ＞ 0\\a^2 - 7a + 6 ＜ 0\end{cases}$，解得$1 ＜ a ＜ 6$，即$a$的取值范围是$(1,6)$。