《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

7. 在四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC} = (1,2)$，$\overrightarrow{BD} = (-4,2)$，则该四边形的面积为（C）

A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$10$

答案： 7. C

8. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分. 某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态. 若两只胳膊的夹角为$60^{\circ}$，每只胳膊的拉力大小均为$380\ N$，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为$10\ m/s^{2}$，$\sqrt{3} \approx 1.732$）（B）


A.$68\ kg$
B.$66\ kg$
C.$64\ kg$
D.$62\ kg$

答案： 8. B

9. 在四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3,\sqrt{3})$，且满足$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|} = \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则$|\overrightarrow{AC}|$等于（D）

A.$2$
B.$6$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： 9. D

10. （多选题）已知在$\triangle ABC$中，$AB = 3$，$AC = 4$，则下列结论正确的是（ABD）

A.若点$O$为$\triangle ABC$的重心，则$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
B.若点$O$为$\triangle ABC$的外心，则$\overrightarrow{AO} · \overrightarrow{BC} = \frac{7}{2}$
C.若点$O$为$\triangle ABC$的垂心，则$\overrightarrow{AO} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
D.若点$O$为$\triangle ABC$的内心，则$\overrightarrow{AO} = \lambda\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right)$

答案： 10. ABD

11. 已知正方形$ABCD$的面积为$16$，$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$，点$N$在线段$CD$上. 若$\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AN} = \frac{4}{3}|\overrightarrow{AM}|^{2}$，则$|\overrightarrow{AN}| = $$\frac{4\sqrt{13}}{3}$.

答案： 11. $\frac{4\sqrt{13}}{3}$

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$BC = 5$，$AC = 6$，点$I$是$\triangle ABC$的内切圆圆心（即$\triangle ABC$三条内角平分线的交点），直线$AI$与$BC$交于点$D$.
（1）设$\overrightarrow{AD} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$，求实数$m$，$n$的值；
（2）求线段$AI$的长.

答案：
12. 解：
(1) 因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以易得$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$。所以$\overrightarrow{BD} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$。所以$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$。由平面向量基本定理，可得$m = \frac{3}{5}$，$n = \frac{2}{5}$。
(2) 由
(1)可知，$\overrightarrow{AD}^2 = \frac{9}{25}\overrightarrow{AB}^2 + \frac{12}{25}\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} + \frac{4}{25}\overrightarrow{AC}^2$。因为$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 5$，所以$\overrightarrow{AB}^2 = 16$，$\overrightarrow{AC}^2 = 36$，$\overrightarrow{BC}^2 = 25$。由$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{BC}^2 = \overrightarrow{AC}^2 - 2\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}^2$，即$25 = 36 - 2\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} + 16$，所以$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} = \frac{27}{2}$。所以$\overrightarrow{AD}^2 = \frac{9}{25} × 16 + \frac{12}{25} × \frac{27}{2} + \frac{4}{25} × 36 = 18$，即$AD = 3\sqrt{2}$。又因为$\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$，$BC = 5$，所以$BD = 2$。如图，连接$BI$，则$BI$是$\angle ABD$的平分线，所以易得$\frac{AI}{ID} = \frac{BA}{BD} = 2$。所以$AI = \frac{2}{3}AD = 2\sqrt{2}$。

13. （2024·山西太原期末）已知平面四边形$ABCD$的四条边$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点依次为$E$，$F$，$G$，$H$，且$AB^{2} + CD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$，则四边形$EFGH$一定为（C）

A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.直角梯形

答案： 13. C