《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

9. (2025·山东省实验中学月考) 在棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 为 $AD_1$ 的中点，则三棱锥 $M - ABC$ 的体积是$\frac{2}{3}$.

答案： 9.$\frac{2}{3}$

10. (2024·河南省实验中学期中) 已知一正四棱锥的底面边长为 2，现用一平行于该正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为 1:4. 若截去的小棱锥的侧棱长为 2，则截得的棱台的表面积为$5+3\sqrt{15}$.

答案： 10.$5+3\sqrt{15}$

11. 如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，求点 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离.

答案： 11.解:由题意，得AB = AD = AA₁ = a，A₁B = BD = A₁D = $\sqrt{2}a$.设点A到平面A₁BD的距离为d.因为$V_{三棱锥A - A_1BD}=V_{三棱锥A_1 - ABD}$，所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a^2· a=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2}a)^2· d$，解得$d=\frac{\sqrt{3}}{3}a$.

12. 如图，在三棱台 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，$A_1B_1:AB = 1:2$，求三棱锥 $A - A_1B_1C_1$、三棱锥 $B_1 - ABC_1$、三棱锥 $C_1 - ABC$ 的体积之比.

答案： 12.解:设三棱台的高为h，$S_{\triangle A_1B_1C_1}=S$，则$S_{\triangle ABC}=4S$.所以$V_{三棱锥A - A_1B_1C_1}=\frac{1}{3}S_{\triangle A_1B_1C_1}· h=\frac{1}{3}Sh$，$V_{三棱锥C_1 - ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}· h=\frac{4}{3}Sh$.又因为$V_{三棱台ABC - A_1B_1C_1}=\frac{1}{3}h(S + 4S+\sqrt{S·4S})=\frac{7}{3}Sh$，所以$V_{三棱锥B_1 - ABC}=V_{三棱台ABC - A_1B_1C_1}-V_{三棱锥A - A_1B_1C_1}-V_{三棱锥C_1 - ABC}=\frac{7}{3}Sh-\frac{1}{3}Sh-\frac{4}{3}Sh=\frac{2}{3}Sh$.所以三棱锥A - A₁B₁C₁、三棱锥B₁ - ABC、三棱锥C₁ - ABC的体积之比为$\frac{1}{3}Sh:\frac{2}{3}Sh:\frac{4}{3}Sh=1:2:4$.

13. 核心素养 直观想象 用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是多少？

答案：
13.解:如图①所示为棱长为1的正方体礼品盒.如图②，先把正方体的表面展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形.由图②可知，大正方形的边长为$2\sqrt{2}$，其面积为8，即所需纸的最小面积是8.