《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. (2025·江苏辅仁高中月考)在$\triangle ABC$中，$BC = 1$，$AC = 4$，$C = 150^{\circ}$，则$\triangle ABC$的面积为 （D）

A.$2\sqrt{3}$
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.1

答案： 1.D

2. 在$\triangle ABC$中，若$AB = 2$，$A = 30^{\circ}$，$B = 120^{\circ}$，则$\triangle ABC$的面积为 （B）

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.3

答案： 2.B

3. (2024·江西萍乡期末)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$. 若$A = 30^{\circ}$，$a = 8$，$b = 8\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积为 （C）

A.$32\sqrt{3}$
B.$16\sqrt{3}$
C.$32\sqrt{3}$或$16\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$

答案： 3.C

4. 在$\triangle ABC$中，三个内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$. 若$a = \sqrt{13}$，$b = 7$，$c = 4\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积为$7\sqrt{3}$.

答案： $4.7\sqrt{3}$

5. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle B = \angle C = 120^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = CD = 2$，求该四边形的面积.

答案： 5. 解：连接BD.在△BCD中，由已知条件知，$∠DBC= \frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}，$所以$∠ABD=∠ABC-∠DBC=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}.$在△BCD中，由余弦定理知，$BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2BC· CD·\cos C=2^{2}+2^{2}-2×2×2×\cos120^{\circ}=12，$所以$BD=2\sqrt{3}.$所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2×2×\sin120^{\circ}=5\sqrt{3}.$

6. 已知$\triangle ABC$的面积为$\sqrt{3}$，$B = \frac{\pi}{3}$，$AB = 4$，则边$AC$的长为 （D）

A.3
B.4
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{13}$

答案： 6.D

7. (2024·山东济南一中月考)已知$a$，$b$，$c$分别为$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边，$\triangle ABC$的面积$S = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$，则$C$等于 （C）

A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 7.C

8. 在$\triangle ABC$中，已知$|\overrightarrow{AB}| = 4$，$|\overrightarrow{AC}| = 1$，$S_{\triangle ABC} = \sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}$的值为 （D）

A.$-2$
B.2
C.$\pm 4$
D.$\pm 2$

答案： 8.D

9. (2025·江苏镇江中学期中)在锐角三角形$ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$. 若$a = 6$，$c = 5$，$\sin B = \frac{\sqrt{7}}{4}$，则下列说法错误的是 （D）

A.$b = 4$
B.边$AC$上的高是$\frac{15\sqrt{7}}{8}$
C.$\triangle ABC$的面积是$\frac{15\sqrt{7}}{4}$
D.$\triangle ABC$内切圆的面积是$\frac{5}{2}\pi$

答案： 9.D

10. (多选题)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$. 若$a = 2\sqrt{3}$，$A = \frac{\pi}{3}$，则下列结论正确的是 （BCD）

A.若$b = \sqrt{15}$，则满足条件的三角形只有1个
B.$\triangle ABC$面积的最大值为$3\sqrt{3}$
C.$\triangle ABC$周长的最大值为$6\sqrt{3}$
D.若$\triangle ABC$为锐角三角形，则$\frac{b}{c}$的取值范围是$(\frac{1}{2}, 2)$

答案： 10.BCD