《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. 在二面角 $ \alpha - l - \beta $ 的棱 $ l $ 上任选一点 $ O $，若 $ \angle AOB $ 是二面角 $ \alpha - l - \beta $ 的平面角，则必须具有的条件可以是 （D）

A.$ AO \perp BO $，$ AO \subset \alpha $，$ BO \subset \beta $
B.$ AO \perp l $，$ BO \perp l $
C.$ AB \perp l $，$ AO \subset \alpha $，$ BO \subset \beta $
D.$ AO \perp l $，$ BO \perp l $，且 $ AO \subset \alpha $，$ BO \subset \beta $

答案： 1.D

2. 对于直线 $ m $，$ n $ 和平面 $ \alpha $，$ \beta $，能得出 $ \alpha \perp \beta $ 的一个条件是 （C）

A.$ m \perp n $，$ m // \alpha $，$ n // \beta $
B.$ m \perp n $，$ \alpha \cap \beta = m $，$ n \subset \alpha $
C.$ m // n $，$ n \perp \beta $，$ m \subset \alpha $
D.$ m // n $，$ m \perp \alpha $，$ n \perp \beta $

答案： 2.C

3. 教材改编 P162T1 若平面 $ \alpha \perp $ 平面 $ \beta $，平面 $ \alpha $ 内的一条直线 $ a $ 垂直于平面 $ \beta $ 内的一条直线 $ b $，则下列结论正确的是 （C）

A.直线 $ a $ 必垂直于平面 $ \beta $
B.直线 $ b $ 必垂直于平面 $ \alpha $
C.直线 $ a $ 不一定垂直于平面 $ \beta $
D.过 $ a $ 的平面与过 $ b $ 的平面垂直

答案： 3.C

4. 如图，有正方体 $ ABCD - A'B'C'D' $。
（1）二面角 $ D' - AB - D $ 的大小为45°；
（2）二面角 $ A' - AB - D $ 的大小为90°。

答案： 4.
(1)45°
(2)90°

5. 如图，在三棱锥 $ P - ABC $ 中，$ PA \perp $ 平面 $ ABC $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，过点 $ A $ 分别作 $ AE \perp PB $，$ AF \perp PC $，$ E $，$ F $ 分别为垂足。求证：
（1）平面 $ PAC \perp $ 平面 $ PBC $；
（2）$ EF \perp PB $。

答案： 5. 证明：
(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为∠ACB = 90°，所以BC⊥AC.又PA∩AC = A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)由
(1)可知，BC⊥平面PAC，AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC = C，PC，BC⊂平面PBC，所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF = A，AE，AF⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB.

6. 如图，在空间四边形 $ ABCD $ 中，$ AD \perp BC $，$ BD \perp AD $，那么必有 （C）

A.平面 $ ABD \perp $ 平面 $ ADC $
B.平面 $ ABD \perp $ 平面 $ ABC $
C.平面 $ ACD \perp $ 平面 $ BCD $
D.平面 $ ABC \perp $ 平面 $ BCD $

答案： 6.C

7. 如图，点 $ B $ 在以 $ AC $ 为直径的圆 $ O $ 的圆周上，$ \angle AOB = \frac{\pi}{3} $，$ PA \perp $ 平面 $ ABC $，$ 2PA = AC = 4 $，则二面角 $ P - BC - A $ 的平面角为 （C）

A.$ \frac{\pi}{2} $
B.$ \frac{\pi}{3} $
C.$ \frac{\pi}{4} $
D.$ \frac{\pi}{6} $

答案： 7.C