《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

11. 如图，在$2× 2$的网格图中，每个小正方形的边长均为$1$，$P$是阴影区域内的一个动点（包括边界），$O$，$A$两点在格点（网格线的交点）上，则$|\overrightarrow {OP}-\overrightarrow {OA}|$的最小值为$\sqrt{2}$，最大值为2$\sqrt{2}$.

答案： 11.$\sqrt{2}$ 2$\sqrt{2}$

12. 已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，作$\overrightarrow {OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow {OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，则$\angle AOB=$30°.

答案： 12.30°

13. 如图，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ }$，$M$是斜边$AB$的中点，$\overrightarrow {CM}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow {CA}=\boldsymbol{b}$.求证：
(1) $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|$；
(2) $|\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})|=|\boldsymbol{b}|$.
]

答案： 13.证明：
(1)因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$M$是斜边
$AB$的中点，所以$|\overrightarrow{CM}| = |\overrightarrow{AM}| = |a|$。又因为$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=a - b$，所以$|a - b| = |a|$。
(2)因为$M$是斜
边$AB$的中点，所以$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}=a - b$。所以$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}=a+(a - b)$。因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$|\overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{CA}|$。所以$|a+(a - b)| = |b|$。

14. 已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=\sqrt {7}+1$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt {7}-1$，且$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=4$，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=$4.

答案： 14.4

15. 核心素养 直观想象 如图，在$□ ABCD$中，$\overrightarrow {AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow {AD}=\boldsymbol{b}$，先用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示向量$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {DB}$，并回答：当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$分别满足什么条件时，$□ ABCD$为矩形、菱形、正方形？

答案： 15.解：由题意，得$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=a + b$，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=a - b$。当$a,b$满足$|a + b| = |a - b|$时，$□ ABCD$的
两条对角线的长度相等，则$□ ABCD$为矩形；当$a,b$满足
$|a| = |b|$时，$□ ABCD$的两条邻边的长度相等，则$□ ABCD$为菱形；当$a,b$满足$|a + b| = |a - b|$且$|a| = |b|$时，
$□ ABCD$的两条对角线的长度相等，且两条邻边的长度相
等，则$□ ABCD$为正方形。