《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

11. (2024·重庆一中月考)在$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$。若$a:b:c=3:5:7$，则$\cos B=$$\frac{11}{14}$。

答案： 11.$\frac{11}{14}$

12. 在$\triangle ABC$中，$AB=3,BC=\sqrt{13},AC=4$，则$A=$$\frac{\pi}{3}$，边$AC$上的高为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

答案： 12.$\frac{\pi}{3}$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

13. 在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$。
(1) 求$A$；
(2) 若$b+c=2a=2\sqrt{3}$，试判断$\triangle ABC$的形状。

答案： 13. 解：
(1) 因为 $(a + b + c)(b + c - a) = 3bc$，所以 $a^2 = b^2 + c^2 - bc$。在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理，得 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，所以 $2 \cos A = 1$。所以 $\cos A = \frac{1}{2}$。因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $A = \frac{\pi}{3}$。
(2) 由
(1)知，$a^2 = b^2 + c^2 - bc = (b + c)^2 - 3bc$。因为 $b + c = 2a = 2\sqrt{3}$，所以 $a = \sqrt{3}$。所以 $(\sqrt{3})^2 =$
$(2\sqrt{3})^2 - 3bc$。所以 $bc = 3$。联立 $\begin{cases} b + c = 2\sqrt{3}, \\ bc = 3, \end{cases}$
解得 $b = c = \sqrt{3}$。所以 $a = b = c = \sqrt{3}$，即 $\triangle ABC$ 为等边三角形。

14. (2025·黑龙江大庆实验中学月考)在$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$的对边分别是$a,b,c$，且$a,b$是方程$x^{2}-6x+6=0$的两个根，$C=60^{\circ}$，则$c$等于（D）

A.$12$
B.$2\sqrt{3}$
C.$18$
D.$3\sqrt{2}$

答案： 14.D

15. (2024·广东湛江一中期末)已知$\triangle ABC$的三个内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$。
(1) 若$a=\sqrt{33},b=4,c=5$，求边$BC$上的中线长；
(2) 请用$a,b,c$表示边$BC$的中线长。

答案： 15. 解：设边 $BC$ 上的中线长为 $m_a$。
(1) 根据余弦定理的推论，得 $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{33 + 25 - 16}{2 × \sqrt{33} × 5} = \frac{7\sqrt{33}}{55}$，所以 $m_a^2 = (\frac{a}{2})^2 + c^2 - 2 · \frac{a}{2} · c · \cos B = \frac{49}{4}$。所以 $m_a = \frac{7}{2}$，即边 $BC$ 上的中线长为 $\frac{7}{2}$。
(2) 根据余弦定理的推论，得 $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$，所以 $m_a^2 = (\frac{a}{2})^2 + c^2 - 2 · \frac{a}{2} · c · \cos B = \frac{a^2}{4} + c^2 - ac · \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2}{4} + c^2 - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4} = \frac{1}{4}[2(b^2 + c^2) - a^2]$。
所以 $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}$。