《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. (2025·江西景德镇期中)若$\{e_1, e_2\}$是平面内所有向量的一个基底，则下列四个选项中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是 (C)

A.$\{e_1 - e_2, e_2 - 2e_1\}$
B.$\{e_1 - e_2, e_1 - \frac{1}{2}e_2\}$
C.$\{2e_2 - 3e_1, 6e_1 - 4e_2\}$
D.$\{e_1 + e_2, e_1 + 3e_2\}$

答案： 1.C

2. 教材改编 P26例1 若$\overrightarrow{OP_1} = a, \overrightarrow{OP_2} = b, \overrightarrow{P_1P} = \lambda \overrightarrow{PP_2} (\lambda \neq -1)$，则$\overrightarrow{OP}$等于 (D)

A.$a + \lambda b$
B.$\lambda a + (1 - \lambda) b$
C.$\lambda a + b$
D.$\frac{1}{1 + \lambda} a + \frac{\lambda}{1 + \lambda} b$

答案： 2.D

3. (多选题)若$e_1, e_2$是平面$\alpha$内两个不共线的向量，则下列说法正确的是 (AD)

A.$\lambda e_1 + \mu e_2 (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$可以表示平面$\alpha$内的所有向量
B.对于平面$\alpha$内的任一向量$a$，使$a = \lambda e_1 + \mu e_2$的实数$\lambda, \mu$有无数对
C.若$\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$均为实数，且向量$\lambda_1 e_1 + \mu_1 e_2$与$\lambda_2 e_1 + \mu_2 e_2$共线，则有且只有一个实数$\lambda$，使$\lambda_1 e_1 + \mu_1 e_2 = \lambda (\lambda_2 e_1 + \mu_2 e_2)$
D.若存在实数$\lambda, \mu$，使$\lambda e_1 + \mu e_2 = 0$，则$\lambda = \mu = 0$

答案： 3.AD

4. 如图，在正方形$ABCD$中，设$\overrightarrow{AB} = a, \overrightarrow{AD} = b, \overrightarrow{BD} = c$，则以$\{a, b\}$为基底时，$\overrightarrow{AC}$可表示为a+b，以$\{a, c\}$为基底时，$\overrightarrow{AC}$可表示为2a+c。

答案： 4.a+b 2a+c

5. 已知$D, E, F$分别是$\triangle ABC$的边$BC, CA, AB$上的点，且$AF = \frac{1}{2} AB, BD = \frac{1}{3} BC, CE = \frac{1}{4} CA$. 若记$\overrightarrow{AB} = m, \overrightarrow{CA} = n$，试用$m, n$表示$\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{FD}$.

答案： 5. 解:由题意，可得$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}m,\overrightarrow{FB}=\frac{1}{2}m,\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{3}(m+n),\overrightarrow{DC}=-\frac{2}{3}(\overrightarrow{m+n}),\overrightarrow{CE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{n},\overrightarrow{EA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{n}$，所以$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=-\frac{2}{3}(m+n)+\frac{1}{4}\overrightarrow{n}=-\frac{2}{3}m-\frac{5}{12}\overrightarrow{n},\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{n}+\frac{1}{2}\overrightarrow{m},\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{m}-\frac{1}{3}(m+n)=\frac{1}{6}\overrightarrow{m}-\frac{1}{3}\overrightarrow{n}$。

6. 如图，平面内的两条相交直线$OP_1$和$OP_2$将该平面分割成Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ四个部分（不包含边界）。设$\overrightarrow{OP} = m \overrightarrow{OP_1} + n \overrightarrow{OP_2}$，且点$P$落在第Ⅲ部分，则实数$m, n$满足 (B)

A.$m ＞ 0, n ＞ 0$
B.$m ＞ 0, n ＜ 0$
C.$m ＜ 0, n ＞ 0$
D.$m ＜ 0, n ＜ 0$

答案： 6.B

7. 如图，在$□ ABCD$中，$\overrightarrow{AB} = a, \overrightarrow{AD} = b, \overrightarrow{AM} = 4 \overrightarrow{MC}$，$P$为$AD$的中点，则$\overrightarrow{MP}$等于 (C)

A.$\frac{4}{5} a + \frac{3}{10} b$
B.$\frac{4}{5} a + \frac{13}{10} b$
C.$-\frac{4}{5} a - \frac{3}{10} b$
D.$\frac{3}{4} a + \frac{1}{4} b$

答案： 7.C