《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

8. (2024 · 江苏淮安期末)在 $□ ABCD$ 中,若 $|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{AD}|=2$,则 $\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}$ 等于（C）

A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$1$

答案： 8.C

9. (2024 · 甘肃天水一中期末)已知单位向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})=-\frac{9}{2}$,则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为（C）

A.$0$
B.$\frac{\pi}{2}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{6}$

答案： 9.C

10. (多选题)已知 $\boldsymbol{a}=(4,-1),\boldsymbol{b}=(0,-1)$,则下列结论正确的是（ABD）

A.$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$
B.$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=5$
C.$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$
D.$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影向量是 $\boldsymbol{b}$

答案： 10.ABD

11. (2025 · 江苏省常州高级中学期中)设平面向量 $\boldsymbol{a}=(1,0),\boldsymbol{b}=(-1,\sqrt{3})$.若 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$,则平面向量 $\boldsymbol{c}$ 的坐标是$(1,\sqrt{3})$(写出一个即可).

答案： 11.答案不唯一,如$(1,\sqrt{3})$

12. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(-1,\sqrt{3}),\boldsymbol{b}=(m,\sqrt{3})$,且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$.
(1) 求 $m$ 的值;
(2) 若向量 $\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$ 所成的角是锐角,求实数 $\lambda$ 的取值范围.

答案： 12. 解：
(1)因为$\boldsymbol{a}=(-1,\sqrt{3})$,$\boldsymbol{b}=(m,\sqrt{3})$,且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$,所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-1× m+\sqrt{3}×\sqrt{3}=3 - m$,$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$,$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{m^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{m^2 + 3}$.所以$3 - m = 2\sqrt{m^2 + 3}×\cos\frac{\pi}{3}$,解得$m = 1$.
(2)由
(1)可知,$\boldsymbol{b}=(1,\sqrt{3})$,则$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=(-1,\sqrt{3})+\lambda(1,\sqrt{3})=(-1+\lambda,\sqrt{3}+ \sqrt{3}\lambda)$,$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(-1,\sqrt{3})+2(1,\sqrt{3})=(1,3\sqrt{3})$.因为向量$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$所成的角是锐角,所以$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})＞0$且$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$不共线.所以$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=(-1+\lambda)×1+(\sqrt{3}+\sqrt{3}\lambda)×3\sqrt{3}=10\lambda + 8＞0$,解得$\lambda＞-\frac{4}{5}$.若两向量共线,则$\frac{-1+\lambda}{1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}\lambda}{3\sqrt{3}}$,解得$\lambda = 2$.所以当两向量不共线时,$\lambda\neq2$.综上所述,实数$\lambda$的取值范围是$(-\frac{4}{5},2)\cup(2,+\infty)$.

13. (多选题)在 $\triangle ABC$ 中,内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$,则下列结论正确的是（AC）

A.若 $A ＜ B$,则 $\sin A ＜ \sin B$
B.若 $a = 2,A = 30^{\circ}$,则 $\triangle ABC$ 外接圆的半径为 $4$
C.若 $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\sin B}$,则 $A = 45^{\circ}$
D.若 $A = 30^{\circ},a = 4,b = 3$,则 $\triangle ABC$ 有两解

答案： 13. AC

14. (2024 · 新课标Ⅰ卷)记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$,已知 $\sin C=\sqrt{2}\cos B,a^2 + b^2 - c^2=\sqrt{2}ab$.
(1) 求 $B$;
(2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$,求 $c$.

答案： 14. 解：
(1)因为$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{2}ab$,所以由余弦定理的推论,得$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.因为$C\in(0,\pi)$,所以$C = \frac{\pi}{4}$,则$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$.又因为$\sin C = \sqrt{2}\cos B$,所以$\cos B = \frac{1}{2}$,因为$B\in(0,\pi)$,所以$B = \frac{\pi}{3}$.
(2)由
(1)可知,$B = \frac{\pi}{3}$,$C = \frac{\pi}{4}$,所以$A = \pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$.所以$\sin A = \sin\frac{5\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.在$\triangle ABC$中,由正弦定理,得$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,即$a = \frac{c\sin A}{\sin C} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}·\sqrt{2}c = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}c$,$b = \frac{c\sin B}{\sin C} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}·\sqrt{2}c = \frac{\sqrt{6}}{2}c$.由三角形的面积公式可知,$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3} + 1}{2}c·\frac{\sqrt{6}}{2}c·\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{8}c^2$,又因为$\triangle ABC$的面积为$3 + \sqrt{3}$,所以$\frac{3 + \sqrt{3}}{8}c^2 = 3 + \sqrt{3}$.所以$c = 2\sqrt{2}$(负值舍去).