《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

13. 设复数$z_1 = 1 + ai(a \in \mathbf{R})$，$z_2 = 2 - 3i$.
(1) 若$z_1 + z_2$是实数，求$z_1 · z_2$的值；
(2) 若$\frac{z_1}{z_2}$是纯虚数，求$|z_1|$.

答案： 13. 解：
(1) z₁+z₂=1+ai+2-3i=3+(a-3)i. 因为z₁+z₂ 是实数，所以a-3=0，即a=3。所以z₁·z₂=(1+3i)(2-3i)=2-3i+6i-9i²=11+3i。$ (2)\frac{z₁}{z₂}=\frac{1+ai}{2-3i}=\frac{(1+ai)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\frac{(2-3a)+(2a+3)i}{13}。$ 因为$\frac{z₁}{z₂} $是纯虚数，所以$\begin{cases}2-3a=0,\\2a+3≠0,\end{cases} $解得$a=\frac{2}{3}，$则$z₁=1+\frac{2}{3}i。$所以|z₁|$=\sqrt{1²+(\frac{2}{3})²}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

14. 在复平面内，$O$为原点，向量$\overrightarrow{OM} = (a,b)$，对应的复数为$a + bi(a,b \in \mathbf{R})$，将$\overrightarrow{OM}$绕点$O$按逆时针方向旋转$\frac{\pi}{4}$，且将向量$\overrightarrow{OM}$的模变为原来的$\sqrt{2}$倍，得向量$\overrightarrow{ON}$，此时向量$\overrightarrow{ON}$对应的复数为$(a + bi)(1 + i) = a - b + (a + b)i$. 如图，现有一个$□ ABCD$，点$A,B$的坐标分别为$(1,1)$，$(3,2)$，$|AD| = \sqrt{2}|AB|$，$\angle BAD = 45^{\circ}$，则点$D$的坐标为(2,4).

答案： 14.(2,4)

15. 开放题 若虚数$z$同时满足下面两个条件：①$z + 4$的实部与虚部互为相反数；②$z + \frac{10}{z}$是实数. 这样的虚数是否存在？若存在，求出$z$；若不存在，请说明理由.

答案： 15. 解：存在.设z=a+bi(a,b∈R，b≠0)。因为z+4 的实部与虚部互为相反数，且z+4=a+4+bi，所以a+4+b=0，即b=-(a+4)。因为$z+\frac{10}{z}=a+bi+\frac{10}{a+bi}=(a+\frac{10a}{a²+b²})+(b-\frac{10b}{a²+b²})i $是实数，所以$b-\frac{10b}{a²+b²}=0，$即a²+b²=10。把b=-(a+4)代入上式，得a²+[-(a+4)]²=10，解得a=-1 或a=-3，所以$\begin{cases}a=-1,\\b=-3\end{cases} $或$\begin{cases}a=-3,\\b=-1.\end{cases} $所以z=-1-3i 或z=-3-i。