《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

7.（2025·山东青岛二中期中）如图，记某塔的高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得$\angle OBA=105^{\circ}$，$\angle OAB=45^{\circ}$，$AB=45$m，在点B处测得塔顶T的仰角为$30^{\circ}$，则塔高OT为 （D）


A.15m
B.$15\sqrt{2}$m
C.$15\sqrt{3}$m
D.$15\sqrt{6}$m

答案： 7.D

8. 如图，甲、乙两人做游戏，甲在A处发现乙在北偏东$45^{\circ}$方向，相距600m的B处，乙正以500m/min的速度沿南偏东$75^{\circ}$方向前进，甲立即以700m/min的速度沿北偏东($45^{\circ}+\alpha$)方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要2min.

答案： 8.2

9.（2024·山东青岛二中月考）如图，游客从崂山的景点A处到C处有两种路线，一种是从A处沿直线步行到C处，另一种是先从A处乘景区观光车到B处，然后从B处沿直线步行到C处.现有甲、乙两位游客从A处到C处，甲沿AC匀速步行，乙从A处乘观光车到B处，再从B处匀速步行到C处.假设山路AC的长为1890m，经测量，$\cos A=\frac{12}{13}$，$\cos B=-\frac{16}{65}$.
（1）求观光车路线AB的长；
（2）若甲的速度为50m/min，观光车匀速直线运行的速度为130m/min，在甲出发2min后，乙乘观光车出发，则乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？

答案：
9.解:
(1)因为$\cos A = \frac{12}{13}$,$\cos B = -\frac{16}{65}$,$A,B \in (0,\pi)$,所以$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \frac{5}{13}$,$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \frac{63}{65}$.所以$\sin C = \sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B = \frac{5}{13} × (-\frac{16}{65}) + \frac{12}{13} × \frac{63}{65} = \frac{4}{5}$.在△ABC中，由正弦定理，得$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$,所以$AB = \frac{AC · \sin C}{\sin B} = \frac{1890 × \frac{4}{5}}{\frac{63}{65}} = 1560$(m).
(2)由
(1)知,AB = 1560m,所以观光车从A处到B处所用的时间为$1560 ÷ 130 = 12$(min).如图，设乙出发$x$min(0 ≤ x ≤ 12)后到达M处,此时甲到达N处，连接MN,则$AM = 130x$m,$AN = 50(x + 2)$m.在△AMN中,由余弦定理,得$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2AM · AN\cos A = (130x)^2 + 2500(x + 2)^2 - 2 × 130x × 50(x + 2) × \frac{12}{13} = (7400x^2 - 14000x + 10000)$m²,所以易得当$x = \frac{14000}{2 × 7400} = \frac{35}{37}$时,MN的长最短，即乙出发$\frac{35}{37}$min后，乙在观光车上与甲的距离最短.
　　　　　　　

10. 早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.当地球在$E_{0}$处时，测得$\angle SE_{0}M=\frac{2\pi}{3}$；行星M绕太阳S运动一周回到原来位置，地球运动到了$E_{1}$处，测得$\angle SE_{1}M=\frac{3\pi}{4}$，$\angle E_{1}SE_{0}=\frac{\pi}{3}$.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$）（A）


A.$2.1R$
B.$2.2R$
C.$2.3R$
D.$2.4R$

答案： 10.A