《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. 如图，一力 $ \boldsymbol{F} $ 作用在小车上，且力 $ \boldsymbol{F} $ 的大小为 $ 10 \, N $，方向与水平面成 $ 60^{\circ} $ 角，则当小车向前运动 $ 10 \, m $ 时，力 $ \boldsymbol{F} $ 所做的功为（B）


A.$ 100 \, J $
B.$ 50 \, J $
C.$ 50\sqrt{3} \, J $
D.$ 200 \, J $

答案： 1.B

2. 在 $ □ ABCD $ 中， $ \angle DAB = 60^{\circ} $，则 $ \overrightarrow{AD} $ 与 $ \overrightarrow{CD} $ 的夹角为（C）

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $

答案： 2.C

3. （多选题）关于平面向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $，$ \boldsymbol{c} $，下列说法正确的是（AB）

A.$ (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{b}^2 $
B.$ (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} $
C.若 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} $，且 $ \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0} $，则 $ \boldsymbol{b} = \boldsymbol{c} $
D.$ (\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} · (\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c}) $

答案： 3.AB

4. （2025·黑龙江省实验中学月考）已知平面向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}| = 2 $，$ |\boldsymbol{b}| = 1 $，且 $ \boldsymbol{b} $ 在 $ \boldsymbol{a} $ 上的投影向量为 $ \frac{1}{4}\boldsymbol{a} $，则 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = $1，$ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = $$\sqrt{7}$。

答案： 4.1 $\sqrt{7}$

5. （2025·广东佛山期中）已知向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}| = \sqrt{2} $，$ |\boldsymbol{b}| = 3 $，且 $ (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp (3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) $。
（1）求向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 的夹角；
（2）若 $ |t\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{17} $，求 $ t $ 的值。

答案： 5.解:
(1)因为向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{2}$,$|\boldsymbol{b}| = 3$，且$(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp (3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$，所以$(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 6\boldsymbol{a}^2 + \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b}^2 = 12 + \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} - 9 = 0$，即$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -3$。设向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{2} × 3} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。因为$\theta \in [0, \pi]$，所以$\theta = \frac{3\pi}{4}$，即向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{4}$。
(2) 因为$|t\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{17}$，所以$|t\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = t^2\boldsymbol{a}^2 + 2t\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}^2 = 2t^2 - 6t + 9 = 17$，即$t^2 - 3t - 4 = 0$，解得$t = 4$或$t = -1$。

6. 已知单位向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $，则 $ (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) $ 的值为（C）

A.$ \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ 3 $
D.$ 5 $

答案： 6.C

7. （2025·江苏淮安市第一高级中学月考）已知 $ \triangle ABC $ 是边长为 $ 2 $ 的等边三角形，则 $ \overrightarrow{BA} · \overrightarrow{AC} $ 等于（D）

A.$ 4 $
B.$ -4 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

答案： 7.D

8. 在边长为 $ 1 $ 的等边三角形 $ ABC $ 中，设 $ \overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b} $，$ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{c} $，则 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} + \boldsymbol{c} · \boldsymbol{a} $ 等于（A）

A.$ -\frac{3}{2} $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ -\frac{1}{2} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 8.A

9. 已知非零向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}| = 3|\boldsymbol{b}| $，$ \cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \frac{1}{4} $。若 $ \boldsymbol{b} \perp (t\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) $，则实数 $ t $ 的值为（D）

A.$ 4 $
B.$ -4 $
C.$ \frac{9}{4} $
D.$ -\frac{4}{3} $

答案： 9.D

10. （多选题）若平面向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 2 $，则下列结论正确的是（AD）

A.$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -2 $
B.向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \frac{\pi}{3} $
C.$ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{3} $
D.$ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $ 在 $ \boldsymbol{a} $ 上的投影向量为 $ \frac{3}{2}\boldsymbol{a} $

答案： 10.AD

11. （2025·天津一中期中）若非零向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{5}|\boldsymbol{b}| $，且 $ (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b} $，则 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为$\frac{\pi}{4}$。

答案： 11.$\frac{\pi}{4}$

12. 已知向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{3} $，$ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| $，则 $ |\boldsymbol{b}| = $$\sqrt{3}$。

答案： 12.$\sqrt{3}$